Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62192 / 39088
↖ ↑ ↗
← N 58.562523°
W  9.184570°		 ← 159.27 m → N 58.562523°
W  9.181824°		 →
↑
159.27 m
↓
↑
159.27 m
↓
N 58.561090°
W  9.184570°		 ← 159.27 m →
25 368 m²		 N 58.561090°
W  9.181824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474491119384766 y=0.298221588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474491119384766 × 217)
    floor (0.474491119384766 × 131072)
    floor (62192.5)     		tx = 62192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298221588134766 × 217)
    floor (0.298221588134766 × 131072)
    floor (39088.5)     		ty = 39088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62192 / 39088 ti = "17/62192/39088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62192/39088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62192 ÷ 217
    62192 ÷ 131072     		x = 0.4744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39088 ÷ 217
    39088 ÷ 131072     		y = 0.2982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2982177734375 × 2 - 1) × π
    0.403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26783512115125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16030099} λ = -0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26783512115125))-π/2
    2×atan(3.55315208626613)-π/2
    2×1.29645258333149-π/2
    2.59290516666299-1.57079632675     		φ = 1.02210884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02210884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.562523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62192 KachelY 39088 -0.16030099 1.02210884 -9.184570 58.562523
    Oben rechts KachelX + 1 62193 KachelY 39088 -0.16025306 1.02210884 -9.181824 58.562523
    Unten links KachelX 62192 KachelY + 1 39089 -0.16030099 1.02208384 -9.184570 58.561090
    Unten rechts KachelX + 1 62193 KachelY + 1 39089 -0.16025306 1.02208384 -9.181824 58.561090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02210884-1.02208384) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dl = 159.274999999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02210884-1.02208384) × R
    2.49999999999417e-05 × 6371000     		dr = 159.274999999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16030099--0.16025306) × cos(1.02210884) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521567829344844 × 6371000     		do = 159.26701115144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16030099--0.16025306) × cos(1.02208384) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521589159427387 × 6371000     		du = 159.273524548746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02210884)-sin(1.02208384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521567829344844-0.521589159427387)×R²
    abs(-0.16025306--0.16030099)×2.13300825435692e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13300825435692e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13300825435692e-05×40589641000000     		ar = 25367.7719131004m²