Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62190 / 34606
↖ ↑ ↗
← N 64.418293°
W  9.190064°		 ← 131.88 m → N 64.418293°
W  9.187317°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
N 64.417107°
W  9.190064°		 ← 131.89 m →
17 393 m²		 N 64.417107°
W  9.187317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474475860595703 y=0.264026641845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474475860595703 × 217)
    floor (0.474475860595703 × 131072)
    floor (62190.5)     		tx = 62190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264026641845703 × 217)
    floor (0.264026641845703 × 131072)
    floor (34606.5)     		ty = 34606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62190 / 34606 ti = "17/62190/34606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62190/34606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62190 ÷ 217
    62190 ÷ 131072     		x = 0.474472045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34606 ÷ 217
    34606 ÷ 131072     		y = 0.264022827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474472045898438 × 2 - 1) × π
    -0.051055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16039687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264022827148438 × 2 - 1) × π
    0.471954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48268830524834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16039687} λ = -0.16039687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48268830524834))-π/2
    2×atan(4.40477114795911)-π/2
    2×1.34755382356402-π/2
    2.69510764712804-1.57079632675     		φ = 1.12431132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16039687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12431132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.418293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62190 KachelY 34606 -0.16039687 1.12431132 -9.190064 64.418293
    Oben rechts KachelX + 1 62191 KachelY 34606 -0.16034893 1.12431132 -9.187317 64.418293
    Unten links KachelX 62190 KachelY + 1 34607 -0.16039687 1.12429062 -9.190064 64.417107
    Unten rechts KachelX + 1 62191 KachelY + 1 34607 -0.16034893 1.12429062 -9.187317 64.417107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12431132-1.12429062) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dl = 131.879699999195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12431132-1.12429062) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dr = 131.879699999195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16039687--0.16034893) × cos(1.12431132) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431797788147027 × 6371000     		do = 131.882158975159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16039687--0.16034893) × cos(1.12429062) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431816458842572 × 6371000     		du = 131.887861486162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12431132)-sin(1.12429062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431797788147027-0.431816458842572)×R²
    abs(-0.16034893--0.16039687)×1.86706955445648e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86706955445648e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86706955445648e-05×40589641000000     		ar = 17392.9555840754m²