Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62190 / 34132
↖ ↑ ↗
← N 64.974712°
W  9.190064°		 ← 129.20 m → N 64.974712°
W  9.187317°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
N 64.973550°
W  9.190064°		 ← 129.21 m →
16 694 m²		 N 64.973550°
W  9.187317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474475860595703 y=0.260410308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474475860595703 × 217)
    floor (0.474475860595703 × 131072)
    floor (62190.5)     		tx = 62190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260410308837891 × 217)
    floor (0.260410308837891 × 131072)
    floor (34132.5)     		ty = 34132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62190 / 34132 ti = "17/62190/34132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62190/34132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62190 ÷ 217
    62190 ÷ 131072     		x = 0.474472045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34132 ÷ 217
    34132 ÷ 131072     		y = 0.260406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474472045898438 × 2 - 1) × π
    -0.051055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16039687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260406494140625 × 2 - 1) × π
    0.47918701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50541039566824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16039687} λ = -0.16039687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50541039566824))-π/2
    2×atan(4.5060024947845)-π/2
    2×1.35240949265936-π/2
    2.70481898531873-1.57079632675     		φ = 1.13402266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16039687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13402266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.974712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62190 KachelY 34132 -0.16039687 1.13402266 -9.190064 64.974712
    Oben rechts KachelX + 1 62191 KachelY 34132 -0.16034893 1.13402266 -9.187317 64.974712
    Unten links KachelX 62190 KachelY + 1 34133 -0.16039687 1.13400238 -9.190064 64.973550
    Unten rechts KachelX + 1 62191 KachelY + 1 34133 -0.16034893 1.13400238 -9.187317 64.973550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13402266-1.13400238) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13402266-1.13400238) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16039687--0.16034893) × cos(1.13402266) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423018222948575 × 6371000     		do = 129.200653777544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16039687--0.16034893) × cos(1.13400238) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423036598999006 × 6371000     		du = 129.206266296345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13402266)-sin(1.13400238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423018222948575-0.423036598999006)×R²
    abs(-0.16034893--0.16039687)×1.83760504304242e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83760504304242e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83760504304242e-05×40589641000000     		ar = 16693.5883468888m²