Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6219 / 10539
↖ ↑ ↗
← S 45.752193°
W 43.352051°		 ← 1 704.78 m → S 45.752193°
W 43.330078°		 →
↑
1 704.62 m
↓
↑
1 704.62 m
↓
S 45.767523°
W 43.352051°		 ← 1 704.32 m →
2 905 620 m²		 S 45.767523°
W 43.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379608154296875 y=0.643280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379608154296875 × 214)
    floor (0.379608154296875 × 16384)
    floor (6219.5)     		tx = 6219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643280029296875 × 214)
    floor (0.643280029296875 × 16384)
    floor (10539.5)     		ty = 10539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6219 / 10539 ti = "14/6219/10539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6219/10539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6219 ÷ 214
    6219 ÷ 16384     		x = 0.37957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10539 ÷ 214
    10539 ÷ 16384     		y = 0.64324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.2408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75663602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.2864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900063227266174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75663602} λ = -0.75663602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900063227266174))-π/2
    2×atan(0.406543954265156)-π/2
    2×0.386134956330373-π/2
    0.772269912660746-1.57079632675     		φ = -0.79852641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75663602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.352051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79852641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.752193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6219 KachelY 10539 -0.75663602 -0.79852641 -43.352051 -45.752193
    Oben rechts KachelX + 1 6220 KachelY 10539 -0.75625253 -0.79852641 -43.330078 -45.752193
    Unten links KachelX 6219 KachelY + 1 10540 -0.75663602 -0.79879397 -43.352051 -45.767523
    Unten rechts KachelX + 1 6220 KachelY + 1 10540 -0.75625253 -0.79879397 -43.330078 -45.767523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79852641--0.79879397) × R
    0.000267559999999945 × 6371000     		dl = 1704.62475999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79852641--0.79879397) × R
    0.000267559999999945 × 6371000     		dr = 1704.62475999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75663602--0.75625253) × cos(-0.79852641) × R
    0.000383489999999931 × 0.697763041288735 × 6371000     		do = 1704.78498239171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75663602--0.75625253) × cos(-0.79879397) × R
    0.000383489999999931 × 0.697571355420939 × 6371000     		du = 1704.31665264448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79852641)-sin(-0.79879397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697763041288735-0.697571355420939)×R²
    abs(-0.75625253--0.75663602)×0.000191685867795721×R²
    0.000383489999999931×0.000191685867795721×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191685867795721×40589641000000     		ar = 2905619.54555154m²