Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62189 / 78129
↖ ↑ ↗
← S 32.660188°
W  9.192810°		 ← 257.08 m → S 32.660188°
W  9.190064°		 →
↑
257.07 m
↓
↑
257.07 m
↓
S 32.662500°
W  9.192810°		 ← 257.07 m →
66 087 m²		 S 32.662500°
W  9.190064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474468231201172 y=0.596080780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474468231201172 × 217)
    floor (0.474468231201172 × 131072)
    floor (62189.5)     		tx = 62189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596080780029297 × 217)
    floor (0.596080780029297 × 131072)
    floor (78129.5)     		ty = 78129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62189 / 78129 ti = "17/62189/78129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62189/78129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62189 ÷ 217
    62189 ÷ 131072     		x = 0.474464416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78129 ÷ 217
    78129 ÷ 131072     		y = 0.596076965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474464416503906 × 2 - 1) × π
    -0.0510711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16044480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596076965332031 × 2 - 1) × π
    -0.192153930664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.603669376915367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16044480} λ = -0.16044480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603669376915367))-π/2
    2×atan(0.546801529520381)-π/2
    2×0.500384255283708-π/2
    1.00076851056742-1.57079632675     		φ = -0.57002782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16044480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.192810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57002782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.660188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62189 KachelY 78129 -0.16044480 -0.57002782 -9.192810 -32.660188
    Oben rechts KachelX + 1 62190 KachelY 78129 -0.16039687 -0.57002782 -9.190064 -32.660188
    Unten links KachelX 62189 KachelY + 1 78130 -0.16044480 -0.57006817 -9.192810 -32.662500
    Unten rechts KachelX + 1 62190 KachelY + 1 78130 -0.16039687 -0.57006817 -9.190064 -32.662500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57002782--0.57006817) × R
    4.03500000000223e-05 × 6371000     		dl = 257.069850000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57002782--0.57006817) × R
    4.03500000000223e-05 × 6371000     		dr = 257.069850000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16044480--0.16039687) × cos(-0.57002782) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.841885962272879 × 6371000     		do = 257.080006468158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16044480--0.16039687) × cos(-0.57006817) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.841864186489315 × 6371000     		du = 257.073356970684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57002782)-sin(-0.57006817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841885962272879-0.841864186489315)×R²
    abs(-0.16039687--0.16044480)×2.17757835637711e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17757835637711e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17757835637711e-05×40589641000000     		ar = 66086.6640169844m²