Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62185 / 34009
↖ ↑ ↗
← N 65.117239°
W  9.203796°		 ← 128.51 m → N 65.117239°
W  9.201050°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
N 65.116083°
W  9.203796°		 ← 128.52 m →
16 515 m²		 N 65.116083°
W  9.201050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474437713623047 y=0.259471893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474437713623047 × 217)
    floor (0.474437713623047 × 131072)
    floor (62185.5)     		tx = 62185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259471893310547 × 217)
    floor (0.259471893310547 × 131072)
    floor (34009.5)     		ty = 34009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62185 / 34009 ti = "17/62185/34009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62185/34009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62185 ÷ 217
    62185 ÷ 131072     		x = 0.474433898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34009 ÷ 217
    34009 ÷ 131072     		y = 0.259468078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474433898925781 × 2 - 1) × π
    -0.0511322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16063655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259468078613281 × 2 - 1) × π
    0.481063842773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.51130663432151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16063655} λ = -0.16063655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51130663432151))-π/2
    2×atan(4.5326494420464)-π/2
    2×1.35365327403587-π/2
    2.70730654807174-1.57079632675     		φ = 1.13651022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16063655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.203796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13651022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.117239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62185 KachelY 34009 -0.16063655 1.13651022 -9.203796 65.117239
    Oben rechts KachelX + 1 62186 KachelY 34009 -0.16058861 1.13651022 -9.201050 65.117239
    Unten links KachelX 62185 KachelY + 1 34010 -0.16063655 1.13649005 -9.203796 65.116083
    Unten rechts KachelX + 1 62186 KachelY + 1 34010 -0.16058861 1.13649005 -9.201050 65.116083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13651022-1.13649005) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13651022-1.13649005) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16063655--0.16058861) × cos(1.13651022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420762885675997 × 6371000     		do = 128.511815722117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16063655--0.16058861) × cos(1.13649005) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420781183222482 × 6371000     		du = 128.517404263792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13651022)-sin(1.13649005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420762885675997-0.420781183222482)×R²
    abs(-0.16058861--0.16063655)×1.82975464846358e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82975464846358e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82975464846358e-05×40589641000000     		ar = 16514.5219244855m²