Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62183 / 34134
↖ ↑ ↗
← N 64.972388°
W  9.209289°		 ← 129.18 m → N 64.972388°
W  9.206543°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
N 64.971226°
W  9.209289°		 ← 129.19 m →
16 692 m²		 N 64.971226°
W  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474422454833984 y=0.260425567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474422454833984 × 217)
    floor (0.474422454833984 × 131072)
    floor (62183.5)     		tx = 62183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260425567626953 × 217)
    floor (0.260425567626953 × 131072)
    floor (34134.5)     		ty = 34134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62183 / 34134 ti = "17/62183/34134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62183/34134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62183 ÷ 217
    62183 ÷ 131072     		x = 0.474418640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34134 ÷ 217
    34134 ÷ 131072     		y = 0.260421752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474418640136719 × 2 - 1) × π
    -0.0511627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16073242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260421752929688 × 2 - 1) × π
    0.479156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.505314521869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16073242} λ = -0.16073242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.505314521869))-π/2
    2×atan(4.50557050791438)-π/2
    2×1.35238921359637-π/2
    2.70477842719274-1.57079632675     		φ = 1.13398210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16073242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.209289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13398210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.972388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62183 KachelY 34134 -0.16073242 1.13398210 -9.209289 64.972388
    Oben rechts KachelX + 1 62184 KachelY 34134 -0.16068449 1.13398210 -9.206543 64.972388
    Unten links KachelX 62183 KachelY + 1 34135 -0.16073242 1.13396182 -9.209289 64.971226
    Unten rechts KachelX + 1 62184 KachelY + 1 34135 -0.16068449 1.13396182 -9.206543 64.971226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13398210-1.13396182) × R
    2.02800000002057e-05 × 6371000     		dl = 129.20388000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13398210-1.13396182) × R
    2.02800000002057e-05 × 6371000     		dr = 129.20388000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16073242--0.16068449) × cos(1.13398210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.42305497487545 × 6371000     		do = 129.184925929496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16073242--0.16068449) × cos(1.13396182) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.423073350577902 × 6371000     		du = 129.190537171299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13398210)-sin(1.13396182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42305497487545-0.423073350577902)×R²
    abs(-0.16068449--0.16073242)×1.83757024514453e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.83757024514453e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.83757024514453e-05×40589641000000     		ar = 16691.5561654597m²