Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62182 / 75567
↖ ↑ ↗
← S 26.546766°
W  9.212036°		 ← 273.22 m → S 26.546766°
W  9.209289°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
S 26.549223°
W  9.212036°		 ← 273.22 m →
74 641 m²		 S 26.549223°
W  9.209289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474414825439453 y=0.576534271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474414825439453 × 217)
    floor (0.474414825439453 × 131072)
    floor (62182.5)     		tx = 62182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576534271240234 × 217)
    floor (0.576534271240234 × 131072)
    floor (75567.5)     		ty = 75567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62182 / 75567 ti = "17/62182/75567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62182/75567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62182 ÷ 217
    62182 ÷ 131072     		x = 0.474411010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75567 ÷ 217
    75567 ÷ 131072     		y = 0.576530456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474411010742188 × 2 - 1) × π
    -0.051177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16078036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576530456542969 × 2 - 1) × π
    -0.153060913085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.480855040088783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16078036} λ = -0.16078036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480855040088783))-π/2
    2×atan(0.618254533329693)-π/2
    2×0.553733930714186-π/2
    1.10746786142837-1.57079632675     		φ = -0.46332847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16078036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.212036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46332847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.546766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62182 KachelY 75567 -0.16078036 -0.46332847 -9.212036 -26.546766
    Oben rechts KachelX + 1 62183 KachelY 75567 -0.16073242 -0.46332847 -9.209289 -26.546766
    Unten links KachelX 62182 KachelY + 1 75568 -0.16078036 -0.46337135 -9.212036 -26.549223
    Unten rechts KachelX + 1 62183 KachelY + 1 75568 -0.16073242 -0.46337135 -9.209289 -26.549223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46332847--0.46337135) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dl = 273.188480000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46332847--0.46337135) × R
    4.28800000000229e-05 × 6371000     		dr = 273.188480000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16078036--0.16073242) × cos(-0.46332847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894569868748937 × 6371000     		do = 273.224664144484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16078036--0.16073242) × cos(-0.46337135) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894550703648474 × 6371000     		du = 273.218810629493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46332847)-sin(-0.46337135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894569868748937-0.894550703648474)×R²
    abs(-0.16073242--0.16078036)×1.91651004629589e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91651004629589e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91651004629589e-05×40589641000000     		ar = 74641.0311511336m²