Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62181 / 75564
↖ ↑ ↗
← S 26.539394°
W  9.214783°		 ← 273.24 m → S 26.539394°
W  9.212036°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
S 26.541852°
W  9.214783°		 ← 273.24 m →
74 663 m²		 S 26.541852°
W  9.212036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474407196044922 y=0.576511383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474407196044922 × 217)
    floor (0.474407196044922 × 131072)
    floor (62181.5)     		tx = 62181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576511383056641 × 217)
    floor (0.576511383056641 × 131072)
    floor (75564.5)     		ty = 75564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62181 / 75564 ti = "17/62181/75564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62181/75564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62181 ÷ 217
    62181 ÷ 131072     		x = 0.474403381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75564 ÷ 217
    75564 ÷ 131072     		y = 0.576507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474403381347656 × 2 - 1) × π
    -0.0511932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16082830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.15301513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.480711229389923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16082830} λ = -0.16082830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480711229389923))-π/2
    2×atan(0.618343451339732)-π/2
    2×0.553798257140365-π/2
    1.10759651428073-1.57079632675     		φ = -0.46319981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16082830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.214783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46319981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.539394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62181 KachelY 75564 -0.16082830 -0.46319981 -9.214783 -26.539394
    Oben rechts KachelX + 1 62182 KachelY 75564 -0.16078036 -0.46319981 -9.212036 -26.539394
    Unten links KachelX 62181 KachelY + 1 75565 -0.16082830 -0.46324270 -9.214783 -26.541852
    Unten rechts KachelX + 1 62182 KachelY + 1 75565 -0.16078036 -0.46324270 -9.212036 -26.541852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46319981--0.46324270) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46319981--0.46324270) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16082830--0.16078036) × cos(-0.46319981) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.894627363117402 × 6371000     		do = 273.24222440436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16082830--0.16078036) × cos(-0.46324270) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.89460819848382 × 6371000     		du = 273.236371031966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46319981)-sin(-0.46324270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894627363117402-0.89460819848382)×R²
    abs(-0.16078036--0.16082830)×1.91646335820916e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91646335820916e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91646335820916e-05×40589641000000     		ar = 74663.2365070448m²