Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62180 / 34209
↖ ↑ ↗
← N 64.885100°
W  9.217530°		 ← 129.63 m → N 64.885100°
W  9.214783°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
N 64.883934°
W  9.217530°		 ← 129.64 m →
16 807 m²		 N 64.883934°
W  9.214783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474399566650391 y=0.260997772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474399566650391 × 217)
    floor (0.474399566650391 × 131072)
    floor (62180.5)     		tx = 62180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260997772216797 × 217)
    floor (0.260997772216797 × 131072)
    floor (34209.5)     		ty = 34209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62180 / 34209 ti = "17/62180/34209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62180/34209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62180 ÷ 217
    62180 ÷ 131072     		x = 0.474395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34209 ÷ 217
    34209 ÷ 131072     		y = 0.260993957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.05120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16087624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260993957519531 × 2 - 1) × π
    0.478012084960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.5017192543975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16087624} λ = -0.16087624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5017192543975))-π/2
    2×atan(4.4894008613462)-π/2
    2×1.35162747591852-π/2
    2.70325495183703-1.57079632675     		φ = 1.13245863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16087624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.217530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13245863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.885100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62180 KachelY 34209 -0.16087624 1.13245863 -9.217530 64.885100
    Oben rechts KachelX + 1 62181 KachelY 34209 -0.16082830 1.13245863 -9.214783 64.885100
    Unten links KachelX 62180 KachelY + 1 34210 -0.16087624 1.13243828 -9.217530 64.883934
    Unten rechts KachelX + 1 62181 KachelY + 1 34210 -0.16082830 1.13243828 -9.214783 64.883934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13245863-1.13243828) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13245863-1.13243828) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16087624--0.16082830) × cos(1.13245863) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424434905680156 × 6371000     		do = 129.633345149182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16087624--0.16082830) × cos(1.13243828) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424453331671798 × 6371000     		du = 129.638972921314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13245863)-sin(1.13243828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424434905680156-0.424453331671798)×R²
    abs(-0.16082830--0.16087624)×1.84259916414242e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84259916414242e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84259916414242e-05×40589641000000     		ar = 16807.3085740048m²