Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62180 / 34015
↖ ↑ ↗
← N 65.110304°
W  9.217530°		 ← 128.55 m → N 65.110304°
W  9.214783°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
N 65.109148°
W  9.217530°		 ← 128.55 m →
16 527 m²		 N 65.109148°
W  9.214783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474399566650391 y=0.259517669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474399566650391 × 217)
    floor (0.474399566650391 × 131072)
    floor (62180.5)     		tx = 62180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259517669677734 × 217)
    floor (0.259517669677734 × 131072)
    floor (34015.5)     		ty = 34015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62180 / 34015 ti = "17/62180/34015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62180/34015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62180 ÷ 217
    62180 ÷ 131072     		x = 0.474395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34015 ÷ 217
    34015 ÷ 131072     		y = 0.259513854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.05120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16087624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259513854980469 × 2 - 1) × π
    0.480972290039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.51101901292379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16087624} λ = -0.16087624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51101901292379))-π/2
    2×atan(4.53134594254466)-π/2
    2×1.35359275593664-π/2
    2.70718551187328-1.57079632675     		φ = 1.13638919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16087624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.217530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13638919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.110304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62180 KachelY 34015 -0.16087624 1.13638919 -9.217530 65.110304
    Oben rechts KachelX + 1 62181 KachelY 34015 -0.16082830 1.13638919 -9.214783 65.110304
    Unten links KachelX 62180 KachelY + 1 34016 -0.16087624 1.13636901 -9.217530 65.109148
    Unten rechts KachelX + 1 62181 KachelY + 1 34016 -0.16082830 1.13636901 -9.214783 65.109148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13638919-1.13636901) × R
    2.01800000001473e-05 × 6371000     		dl = 128.566780000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13638919-1.13636901) × R
    2.01800000001473e-05 × 6371000     		dr = 128.566780000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16087624--0.16082830) × cos(1.13638919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420872677458164 × 6371000     		do = 128.545348958431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16087624--0.16082830) × cos(1.13636901) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420890983048449 × 6371000     		du = 128.55093995689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13638919)-sin(1.13636901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420872677458164-0.420890983048449)×R²
    abs(-0.16082830--0.16087624)×1.83055902848728e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83055902848728e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83055902848728e-05×40589641000000     		ar = 16527.0210087097m²