Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62179 / 39073
↖ ↑ ↗
← N 58.584004°
W  9.220276°		 ← 159.17 m → N 58.584004°
W  9.217530°		 →
↑
159.21 m
↓
↑
159.21 m
↓
N 58.582572°
W  9.220276°		 ← 159.18 m →
25 342 m²		 N 58.582572°
W  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474391937255859 y=0.298107147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474391937255859 × 217)
    floor (0.474391937255859 × 131072)
    floor (62179.5)     		tx = 62179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298107147216797 × 217)
    floor (0.298107147216797 × 131072)
    floor (39073.5)     		ty = 39073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62179 / 39073 ti = "17/62179/39073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62179/39073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62179 ÷ 217
    62179 ÷ 131072     		x = 0.474388122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39073 ÷ 217
    39073 ÷ 131072     		y = 0.298103332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474388122558594 × 2 - 1) × π
    -0.0512237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16092417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298103332519531 × 2 - 1) × π
    0.403793334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.26855417464555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16092417} λ = -0.16092417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26855417464555))-π/2
    2×atan(3.55570791146694)-π/2
    2×1.29664004340266-π/2
    2.59328008680531-1.57079632675     		φ = 1.02248376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16092417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.220276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02248376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.584004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62179 KachelY 39073 -0.16092417 1.02248376 -9.220276 58.584004
    Oben rechts KachelX + 1 62180 KachelY 39073 -0.16087624 1.02248376 -9.217530 58.584004
    Unten links KachelX 62179 KachelY + 1 39074 -0.16092417 1.02245877 -9.220276 58.582572
    Unten rechts KachelX + 1 62180 KachelY + 1 39074 -0.16087624 1.02245877 -9.217530 58.582572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02248376-1.02245877) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dl = 159.211290000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02248376-1.02245877) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dr = 159.211290000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16092417--0.16087624) × cos(1.02248376) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521247907268993 × 6371000     		do = 159.169319096917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16092417--0.16087624) × cos(1.02245877) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52126923370487 × 6371000     		du = 159.175831380669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02248376)-sin(1.02245877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521247907268993-0.52126923370487)×R²
    abs(-0.16087624--0.16092417)×2.13264358768228e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13264358768228e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13264358768228e-05×40589641000000     		ar = 25342.0710378255m²