Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62179 / 34207
↖ ↑ ↗
← N 64.887431°
W  9.220276°		 ← 129.60 m → N 64.887431°
W  9.217530°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
N 64.886265°
W  9.220276°		 ← 129.60 m →
16 802 m²		 N 64.886265°
W  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474391937255859 y=0.260982513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474391937255859 × 217)
    floor (0.474391937255859 × 131072)
    floor (62179.5)     		tx = 62179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260982513427734 × 217)
    floor (0.260982513427734 × 131072)
    floor (34207.5)     		ty = 34207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62179 / 34207 ti = "17/62179/34207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62179/34207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62179 ÷ 217
    62179 ÷ 131072     		x = 0.474388122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34207 ÷ 217
    34207 ÷ 131072     		y = 0.260978698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474388122558594 × 2 - 1) × π
    -0.0512237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16092417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260978698730469 × 2 - 1) × π
    0.478042602539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.50181512819674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16092417} λ = -0.16092417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50181512819674))-π/2
    2×atan(4.48983129789656)-π/2
    2×1.3516478211291-π/2
    2.7032956422582-1.57079632675     		φ = 1.13249932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16092417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.220276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13249932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.887431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62179 KachelY 34207 -0.16092417 1.13249932 -9.220276 64.887431
    Oben rechts KachelX + 1 62180 KachelY 34207 -0.16087624 1.13249932 -9.217530 64.887431
    Unten links KachelX 62179 KachelY + 1 34208 -0.16092417 1.13247897 -9.220276 64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 62180 KachelY + 1 34208 -0.16087624 1.13247897 -9.217530 64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13249932-1.13247897) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13249932-1.13247897) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16092417--0.16087624) × cos(1.13249932) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424398062224334 × 6371000     		do = 129.595053808893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16092417--0.16087624) × cos(1.13247897) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 129.600680514423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13249932)-sin(1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424398062224334-0.424416488567418)×R²
    abs(-0.16087624--0.16092417)×1.84263430835774e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84263430835774e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84263430835774e-05×40589641000000     		ar = 16802.3440384388m²