Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62178 / 75558
↖ ↑ ↗
← S 26.524650°
W  9.223023°		 ← 273.28 m → S 26.524650°
W  9.220276°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
S 26.527108°
W  9.223023°		 ← 273.27 m →
74 673 m²		 S 26.527108°
W  9.220276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474384307861328 y=0.576465606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474384307861328 × 217)
    floor (0.474384307861328 × 131072)
    floor (62178.5)     		tx = 62178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576465606689453 × 217)
    floor (0.576465606689453 × 131072)
    floor (75558.5)     		ty = 75558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62178 / 75558 ti = "17/62178/75558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62178/75558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62178 ÷ 217
    62178 ÷ 131072     		x = 0.474380493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75558 ÷ 217
    75558 ÷ 131072     		y = 0.576461791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474380493164062 × 2 - 1) × π
    -0.051239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16097211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576461791992188 × 2 - 1) × π
    -0.152923583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.480423607992203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16097211} λ = -0.16097211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480423607992203))-π/2
    2×atan(0.618521325726491)-π/2
    2×0.553926922392494-π/2
    1.10785384478499-1.57079632675     		φ = -0.46294248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16097211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.223023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46294248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.524650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62178 KachelY 75558 -0.16097211 -0.46294248 -9.223023 -26.524650
    Oben rechts KachelX + 1 62179 KachelY 75558 -0.16092417 -0.46294248 -9.220276 -26.524650
    Unten links KachelX 62178 KachelY + 1 75559 -0.16097211 -0.46298537 -9.223023 -26.527108
    Unten rechts KachelX + 1 62179 KachelY + 1 75559 -0.16092417 -0.46298537 -9.220276 -26.527108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46294248--0.46298537) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46294248--0.46298537) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16097211--0.16092417) × cos(-0.46294248) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.894742311891846 × 6371000     		do = 273.277332718857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16097211--0.16092417) × cos(-0.46298537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.894723157132691 × 6371000     		du = 273.271482362367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46294248)-sin(-0.46298537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894742311891846-0.894723157132691)×R²
    abs(-0.16092417--0.16097211)×1.91547591552599e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91547591552599e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91547591552599e-05×40589641000000     		ar = 74672.8303428788m²