Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62178 / 39074
↖ ↑ ↗
← N 58.582572°
W  9.223023°		 ← 159.21 m → N 58.582572°
W  9.220276°		 →
↑
159.21 m
↓
↑
159.21 m
↓
N 58.581140°
W  9.223023°		 ← 159.22 m →
25 348 m²		 N 58.581140°
W  9.220276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474384307861328 y=0.298114776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474384307861328 × 217)
    floor (0.474384307861328 × 131072)
    floor (62178.5)     		tx = 62178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298114776611328 × 217)
    floor (0.298114776611328 × 131072)
    floor (39074.5)     		ty = 39074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62178 / 39074 ti = "17/62178/39074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62178/39074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62178 ÷ 217
    62178 ÷ 131072     		x = 0.474380493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39074 ÷ 217
    39074 ÷ 131072     		y = 0.298110961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474380493164062 × 2 - 1) × π
    -0.051239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16097211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298110961914062 × 2 - 1) × π
    0.403778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26850623774593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16097211} λ = -0.16097211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26850623774593))-π/2
    2×atan(3.55553746593906)-π/2
    2×1.2966275496428-π/2
    2.5932550992856-1.57079632675     		φ = 1.02245877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16097211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.223023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02245877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.582572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62178 KachelY 39074 -0.16097211 1.02245877 -9.223023 58.582572
    Oben rechts KachelX + 1 62179 KachelY 39074 -0.16092417 1.02245877 -9.220276 58.582572
    Unten links KachelX 62178 KachelY + 1 39075 -0.16097211 1.02243378 -9.223023 58.581140
    Unten rechts KachelX + 1 62179 KachelY + 1 39075 -0.16092417 1.02243378 -9.220276 58.581140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02245877-1.02243378) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dl = 159.211290000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02245877-1.02243378) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dr = 159.211290000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16097211--0.16092417) × cos(1.02245877) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52126923370487 × 6371000     		do = 159.209041443531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16097211--0.16092417) × cos(1.02243378) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.521290559815214 × 6371000     		du = 159.215554986564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02245877)-sin(1.02243378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52126923370487-0.521290559815214)×R²
    abs(-0.16092417--0.16097211)×2.13261103442219e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13261103442219e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13261103442219e-05×40589641000000     		ar = 25348.3953839274m²