Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62176 / 40226
↖ ↑ ↗
← N 56.894004°
W  9.228515°		 ← 166.79 m → N 56.894004°
W  9.225769°		 →
↑
166.79 m
↓
↑
166.79 m
↓
N 56.892504°
W  9.228515°		 ← 166.79 m →
27 819 m²		 N 56.892504°
W  9.225769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474369049072266 y=0.306903839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474369049072266 × 217)
    floor (0.474369049072266 × 131072)
    floor (62176.5)     		tx = 62176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306903839111328 × 217)
    floor (0.306903839111328 × 131072)
    floor (40226.5)     		ty = 40226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62176 / 40226 ti = "17/62176/40226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62176/40226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62176 ÷ 217
    62176 ÷ 131072     		x = 0.474365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40226 ÷ 217
    40226 ÷ 131072     		y = 0.306900024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16106798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306900024414062 × 2 - 1) × π
    0.386199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21328292938362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16106798} λ = -0.16106798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21328292938362))-π/2
    2×atan(3.36451199694482)-π/2
    2×1.28189200827506-π/2
    2.56378401655012-1.57079632675     		φ = 0.99298769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16106798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.228515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99298769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.894004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62176 KachelY 40226 -0.16106798 0.99298769 -9.228515 56.894004
    Oben rechts KachelX + 1 62177 KachelY 40226 -0.16102005 0.99298769 -9.225769 56.894004
    Unten links KachelX 62176 KachelY + 1 40227 -0.16106798 0.99296151 -9.228515 56.892504
    Unten rechts KachelX + 1 62177 KachelY + 1 40227 -0.16102005 0.99296151 -9.225769 56.892504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99298769-0.99296151) × R
    2.61799999999868e-05 × 6371000     		dl = 166.792779999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99298769-0.99296151) × R
    2.61799999999868e-05 × 6371000     		dr = 166.792779999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16106798--0.16102005) × cos(0.99298769) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.546189628960568 × 6371000     		do = 166.785573864351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16106798--0.16102005) × cos(0.99296151) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.546211558753031 × 6371000     		du = 166.792270390295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99298769)-sin(0.99296151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546189628960568-0.546211558753031)×R²
    abs(-0.16102005--0.16106798)×2.19297924629602e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19297924629602e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19297924629602e-05×40589641000000     		ar = 27819.1879963697m²