Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62173 / 38197
↖ ↑ ↗
← N 59.815828°
W  9.236755°		 ← 153.53 m → N 59.815828°
W  9.234009°		 →
↑
153.54 m
↓
↑
153.54 m
↓
N 59.814447°
W  9.236755°		 ← 153.54 m →
23 574 m²		 N 59.814447°
W  9.234009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474346160888672 y=0.291423797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474346160888672 × 217)
    floor (0.474346160888672 × 131072)
    floor (62173.5)     		tx = 62173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291423797607422 × 217)
    floor (0.291423797607422 × 131072)
    floor (38197.5)     		ty = 38197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62173 / 38197 ti = "17/62173/38197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62173/38197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62173 ÷ 217
    62173 ÷ 131072     		x = 0.474342346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38197 ÷ 217
    38197 ÷ 131072     		y = 0.291419982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474342346191406 × 2 - 1) × π
    -0.0513153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16121179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291419982910156 × 2 - 1) × π
    0.417160034179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.31054689871272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16121179} λ = -0.16121179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31054689871272))-π/2
    2×atan(3.70820116819851)-π/2
    2×1.30738973465813-π/2
    2.61477946931626-1.57079632675     		φ = 1.04398314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16121179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.236755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04398314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.815828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62173 KachelY 38197 -0.16121179 1.04398314 -9.236755 59.815828
    Oben rechts KachelX + 1 62174 KachelY 38197 -0.16116386 1.04398314 -9.234009 59.815828
    Unten links KachelX 62173 KachelY + 1 38198 -0.16121179 1.04395904 -9.236755 59.814447
    Unten rechts KachelX + 1 62174 KachelY + 1 38198 -0.16116386 1.04395904 -9.234009 59.814447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04398314-1.04395904) × R
    2.40999999998603e-05 × 6371000     		dl = 153.54109999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04398314-1.04395904) × R
    2.40999999998603e-05 × 6371000     		dr = 153.54109999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16121179--0.16116386) × cos(1.04398314) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.502781173853013 × 6371000     		do = 153.530279893544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16121179--0.16116386) × cos(1.04395904) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.502802006077818 × 6371000     		du = 153.536641264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04398314)-sin(1.04395904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502781173853013-0.502802006077818)×R²
    abs(-0.16116386--0.16121179)×2.08322248055337e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08322248055337e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08322248055337e-05×40589641000000     		ar = 23573.6964252205m²