Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62172 / 34124
↖ ↑ ↗
← N 64.984006°
W  9.239502°		 ← 129.16 m → N 64.984006°
W  9.236755°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
N 64.982844°
W  9.239502°		 ← 129.16 m →
16 688 m²		 N 64.982844°
W  9.236755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474338531494141 y=0.260349273681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474338531494141 × 217)
    floor (0.474338531494141 × 131072)
    floor (62172.5)     		tx = 62172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260349273681641 × 217)
    floor (0.260349273681641 × 131072)
    floor (34124.5)     		ty = 34124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62172 / 34124 ti = "17/62172/34124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62172/34124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62172 ÷ 217
    62172 ÷ 131072     		x = 0.474334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34124 ÷ 217
    34124 ÷ 131072     		y = 0.260345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.05133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16125973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260345458984375 × 2 - 1) × π
    0.47930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5057938908652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16125973} λ = -0.16125973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5057938908652))-π/2
    2×atan(4.50773085648676)-π/2
    2×1.3524905912962-π/2
    2.70498118259241-1.57079632675     		φ = 1.13418486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16125973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13418486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.984006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62172 KachelY 34124 -0.16125973 1.13418486 -9.239502 64.984006
    Oben rechts KachelX + 1 62173 KachelY 34124 -0.16121179 1.13418486 -9.236755 64.984006
    Unten links KachelX 62172 KachelY + 1 34125 -0.16125973 1.13416458 -9.239502 64.982844
    Unten rechts KachelX + 1 62173 KachelY + 1 34125 -0.16121179 1.13416458 -9.236755 64.982844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13418486-1.13416458) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13418486-1.13416458) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16125973--0.16121179) × cos(1.13418486) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422871244530141 × 6371000     		do = 129.155762785329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16125973--0.16121179) × cos(1.13416458) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422889621971843 × 6371000     		du = 129.16137572906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13418486)-sin(1.13416458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422871244530141-0.422889621971843)×R²
    abs(-0.16121179--0.16125973)×1.83774417018001e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83774417018001e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83774417018001e-05×40589641000000     		ar = 16687.788283719m²