Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62172 / 34011
↖ ↑ ↗
← N 65.114928°
W  9.239502°		 ← 128.52 m → N 65.114928°
W  9.236755°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
N 65.113772°
W  9.239502°		 ← 128.53 m →
16 516 m²		 N 65.113772°
W  9.236755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474338531494141 y=0.259487152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474338531494141 × 217)
    floor (0.474338531494141 × 131072)
    floor (62172.5)     		tx = 62172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259487152099609 × 217)
    floor (0.259487152099609 × 131072)
    floor (34011.5)     		ty = 34011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62172 / 34011 ti = "17/62172/34011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62172/34011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62172 ÷ 217
    62172 ÷ 131072     		x = 0.474334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34011 ÷ 217
    34011 ÷ 131072     		y = 0.259483337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.05133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16125973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259483337402344 × 2 - 1) × π
    0.481033325195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.51121076052227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16125973} λ = -0.16125973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51121076052227))-π/2
    2×atan(4.53221490055467)-π/2
    2×1.35363310309055-π/2
    2.70726620618111-1.57079632675     		φ = 1.13646988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16125973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13646988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.114928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62172 KachelY 34011 -0.16125973 1.13646988 -9.239502 65.114928
    Oben rechts KachelX + 1 62173 KachelY 34011 -0.16121179 1.13646988 -9.236755 65.114928
    Unten links KachelX 62172 KachelY + 1 34012 -0.16125973 1.13644971 -9.239502 65.113772
    Unten rechts KachelX + 1 62173 KachelY + 1 34012 -0.16121179 1.13644971 -9.236755 65.113772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13646988-1.13644971) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13646988-1.13644971) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16125973--0.16121179) × cos(1.13646988) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42079948059778 × 6371000     		do = 128.522992753183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16125973--0.16121179) × cos(1.13644971) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420817777801886 × 6371000     		du = 128.528581190287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13646988)-sin(1.13644971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42079948059778-0.420817777801886)×R²
    abs(-0.16121179--0.16125973)×1.82972041053442e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82972041053442e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82972041053442e-05×40589641000000     		ar = 16515.9582005804m²