Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62171 / 38195
↖ ↑ ↗
← N 59.818589°
W  9.242249°		 ← 153.55 m → N 59.818589°
W  9.239502°		 →
↑
153.54 m
↓
↑
153.54 m
↓
N 59.817209°
W  9.242249°		 ← 153.56 m →
23 577 m²		 N 59.817209°
W  9.239502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474330902099609 y=0.291408538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474330902099609 × 217)
    floor (0.474330902099609 × 131072)
    floor (62171.5)     		tx = 62171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291408538818359 × 217)
    floor (0.291408538818359 × 131072)
    floor (38195.5)     		ty = 38195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62171 / 38195 ti = "17/62171/38195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62171/38195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62171 ÷ 217
    62171 ÷ 131072     		x = 0.474327087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38195 ÷ 217
    38195 ÷ 131072     		y = 0.291404724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474327087402344 × 2 - 1) × π
    -0.0513458251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16130767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291404724121094 × 2 - 1) × π
    0.417190551757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.31064277251196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16130767} λ = -0.16130767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31064277251196))-π/2
    2×atan(3.70855670457589)-π/2
    2×1.30741383542999-π/2
    2.61482767085998-1.57079632675     		φ = 1.04403134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16130767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.242249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04403134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.818589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62171 KachelY 38195 -0.16130767 1.04403134 -9.242249 59.818589
    Oben rechts KachelX + 1 62172 KachelY 38195 -0.16125973 1.04403134 -9.239502 59.818589
    Unten links KachelX 62171 KachelY + 1 38196 -0.16130767 1.04400724 -9.242249 59.817209
    Unten rechts KachelX + 1 62172 KachelY + 1 38196 -0.16125973 1.04400724 -9.239502 59.817209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04403134-1.04400724) × R
    2.41000000000824e-05 × 6371000     		dl = 153.541100000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04403134-1.04400724) × R
    2.41000000000824e-05 × 6371000     		dr = 153.541100000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16130767--0.16125973) × cos(1.04403134) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.502739508527352 × 6371000     		do = 153.549586419191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16130767--0.16125973) × cos(1.04400724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.502760341336187 × 6371000     		du = 153.555949295246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04403134)-sin(1.04400724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502739508527352-0.502760341336187)×R²
    abs(-0.16125973--0.16130767)×2.0832808834248e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.0832808834248e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.0832808834248e-05×40589641000000     		ar = 23576.6608861569m²