Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62170 / 34128
↖ ↑ ↗
← N 64.979359°
W  9.244995°		 ← 129.15 m → N 64.979359°
W  9.242249°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
N 64.978198°
W  9.244995°		 ← 129.16 m →
16 679 m²		 N 64.978198°
W  9.242249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474323272705078 y=0.260379791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474323272705078 × 217)
    floor (0.474323272705078 × 131072)
    floor (62170.5)     		tx = 62170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260379791259766 × 217)
    floor (0.260379791259766 × 131072)
    floor (34128.5)     		ty = 34128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62170 / 34128 ti = "17/62170/34128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62170/34128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62170 ÷ 217
    62170 ÷ 131072     		x = 0.474319458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34128 ÷ 217
    34128 ÷ 131072     		y = 0.2603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474319458007812 × 2 - 1) × π
    -0.051361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16135560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2603759765625 × 2 - 1) × π
    0.479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50560214326672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16135560} λ = -0.16135560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50560214326672))-π/2
    2×atan(4.50686659278333)-π/2
    2×1.35245004550057-π/2
    2.70490009100114-1.57079632675     		φ = 1.13410376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16135560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.244995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13410376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.979359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62170 KachelY 34128 -0.16135560 1.13410376 -9.244995 64.979359
    Oben rechts KachelX + 1 62171 KachelY 34128 -0.16130767 1.13410376 -9.242249 64.979359
    Unten links KachelX 62170 KachelY + 1 34129 -0.16135560 1.13408349 -9.244995 64.978198
    Unten rechts KachelX + 1 62171 KachelY + 1 34129 -0.16130767 1.13408349 -9.242249 64.978198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13410376-1.13408349) × R
    2.02699999998224e-05 × 6371000     		dl = 129.140169998868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13410376-1.13408349) × R
    2.02699999998224e-05 × 6371000     		dr = 129.140169998868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16135560--0.16130767) × cos(1.13410376) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.422944735130256 × 6371000     		do = 129.151262897192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16135560--0.16130767) × cos(1.13408349) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.422963102814914 × 6371000     		du = 129.156871690665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13410376)-sin(1.13408349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422944735130256-0.422963102814914)×R²
    abs(-0.16130767--0.16135560)×1.83676846573499e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83676846573499e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83676846573499e-05×40589641000000     		ar = 16678.97820683m²