Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62170 / 33992
↖ ↑ ↗
← N 65.136878°
W  9.244995°		 ← 128.39 m → N 65.136878°
W  9.242249°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
N 65.135723°
W  9.244995°		 ← 128.40 m →
16 491 m²		 N 65.135723°
W  9.242249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474323272705078 y=0.259342193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474323272705078 × 217)
    floor (0.474323272705078 × 131072)
    floor (62170.5)     		tx = 62170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259342193603516 × 217)
    floor (0.259342193603516 × 131072)
    floor (33992.5)     		ty = 33992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62170 / 33992 ti = "17/62170/33992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62170/33992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62170 ÷ 217
    62170 ÷ 131072     		x = 0.474319458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33992 ÷ 217
    33992 ÷ 131072     		y = 0.25933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474319458007812 × 2 - 1) × π
    -0.051361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16135560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25933837890625 × 2 - 1) × π
    0.4813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51212156161505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16135560} λ = -0.16135560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51212156161505))-π/2
    2×atan(4.53634472727867)-π/2
    2×1.35382465625449-π/2
    2.70764931250899-1.57079632675     		φ = 1.13685299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16135560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.244995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13685299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.136878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62170 KachelY 33992 -0.16135560 1.13685299 -9.244995 65.136878
    Oben rechts KachelX + 1 62171 KachelY 33992 -0.16130767 1.13685299 -9.242249 65.136878
    Unten links KachelX 62170 KachelY + 1 33993 -0.16135560 1.13683283 -9.244995 65.135723
    Unten rechts KachelX + 1 62171 KachelY + 1 33993 -0.16130767 1.13683283 -9.242249 65.135723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13685299-1.13683283) × R
    2.01600000000468e-05 × 6371000     		dl = 128.439360000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13685299-1.13683283) × R
    2.01600000000468e-05 × 6371000     		dr = 128.439360000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16135560--0.16130767) × cos(1.13685299) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.420451910079303 × 6371000     		do = 128.390048779198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16135560--0.16130767) × cos(1.13683283) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.420470201460729 × 6371000     		du = 128.395634272561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13685299)-sin(1.13683283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420451910079303-0.420470201460729)×R²
    abs(-0.16130767--0.16135560)×1.82913814256724e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82913814256724e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82913814256724e-05×40589641000000     		ar = 16490.6943946201m²