Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6217 / 6601
↖ ↑ ↗
← N 32.971804°
W 43.395996°		 ← 2 049.71 m → N 32.971804°
W 43.374024°		 →
↑
2 050 m
↓
↑
2 050 m
↓
N 32.953368°
W 43.395996°		 ← 2 050.13 m →
4 202 331 m²		 N 32.953368°
W 43.374024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379486083984375 y=0.402923583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379486083984375 × 214)
    floor (0.379486083984375 × 16384)
    floor (6217.5)     		tx = 6217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402923583984375 × 214)
    floor (0.402923583984375 × 16384)
    floor (6601.5)     		ty = 6601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6217 / 6601 ti = "14/6217/6601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6217/6601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6217 ÷ 214
    6217 ÷ 16384     		x = 0.37945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6601 ÷ 214
    6601 ÷ 16384     		y = 0.40289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.2410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75740301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40289306640625 × 2 - 1) × π
    0.1942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.610140858364075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75740301} λ = -0.75740301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.610140858364075))-π/2
    2×atan(1.84069065719659)-π/2
    2×1.0731314314996-π/2
    2.14626286299921-1.57079632675     		φ = 0.57546654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75740301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57546654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.971804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6217 KachelY 6601 -0.75740301 0.57546654 -43.395996 32.971804
    Oben rechts KachelX + 1 6218 KachelY 6601 -0.75701952 0.57546654 -43.374024 32.971804
    Unten links KachelX 6217 KachelY + 1 6602 -0.75740301 0.57514477 -43.395996 32.953368
    Unten rechts KachelX + 1 6218 KachelY + 1 6602 -0.75701952 0.57514477 -43.374024 32.953368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57546654-0.57514477) × R
    0.000321769999999999 × 6371000     		dl = 2049.99666999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57546654-0.57514477) × R
    0.000321769999999999 × 6371000     		dr = 2049.99666999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75740301--0.75701952) × cos(0.57546654) × R
    0.000383490000000042 × 0.838938490417496 × 6371000     		do = 2049.70692768852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75740301--0.75701952) × cos(0.57514477) × R
    0.000383490000000042 × 0.839113562664238 × 6371000     		du = 2050.13466679108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57546654)-sin(0.57514477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838938490417496-0.839113562664238)×R²
    abs(-0.75701952--0.75740301)×0.000175072246741848×R²
    0.000383490000000042×0.000175072246741848×6371000²
    0.000383490000000042×0.000175072246741848×40589641000000     		ar = 4202330.84436312m²