Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6217 / 2119
↖ ↑ ↗
← N 65.238307°
E 93.208008°		 ← 2 046.68 m → N 65.238307°
E 93.251953°		 →
↑
2 047.38 m
↓
↑
2 047.38 m
↓
N 65.219894°
E 93.208008°		 ← 2 048.11 m →
4 191 808 m²		 N 65.219894°
E 93.251953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75897216796875 y=0.25872802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75897216796875 × 213)
    floor (0.75897216796875 × 8192)
    floor (6217.5)     		tx = 6217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25872802734375 × 213)
    floor (0.25872802734375 × 8192)
    floor (2119.5)     		ty = 2119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6217 / 2119 ti = "13/6217/2119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6217/2119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6217 ÷ 213
    6217 ÷ 8192     		x = 0.7589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2119 ÷ 213
    2119 ÷ 8192     		y = 0.2586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7589111328125 × 2 - 1) × π
    0.517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62678663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2586669921875 × 2 - 1) × π
    0.482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51634000878162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62678663} λ = 1.62678663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51634000878162))-π/2
    2×atan(4.55552147745576)-π/2
    2×1.35470978790005-π/2
    2.7094195758001-1.57079632675     		φ = 1.13862325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62678663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13862325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.238307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6217 KachelY 2119 1.62678663 1.13862325 93.208008 65.238307
    Oben rechts KachelX + 1 6218 KachelY 2119 1.62755362 1.13862325 93.251953 65.238307
    Unten links KachelX 6217 KachelY + 1 2120 1.62678663 1.13830189 93.208008 65.219894
    Unten rechts KachelX + 1 6218 KachelY + 1 2120 1.62755362 1.13830189 93.251953 65.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13862325-1.13830189) × R
    0.000321360000000048 × 6371000     		dl = 2047.38456000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13862325-1.13830189) × R
    0.000321360000000048 × 6371000     		dr = 2047.38456000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62678663-1.62755362) × cos(1.13862325) × R
    0.000766990000000023 × 0.41884506896623 × 6371000     		do = 2046.68361905313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62678663-1.62755362) × cos(1.13830189) × R
    0.000766990000000023 × 0.419136860759979 × 6371000     		du = 2048.10945769536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13862325)-sin(1.13830189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41884506896623-0.419136860759979)×R²
    abs(1.62755362-1.62678663)×0.000291791793748386×R²
    0.000766990000000023×0.000291791793748386×6371000²
    0.000766990000000023×0.000291791793748386×40589641000000     		ar = 4191808.09694068m²