Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62169 / 34122
↖ ↑ ↗
← N 64.986328°
W  9.247742°		 ← 129.14 m → N 64.986328°
W  9.244995°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
N 64.985167°
W  9.247742°		 ← 129.15 m →
16 678 m²		 N 64.985167°
W  9.244995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474315643310547 y=0.260334014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474315643310547 × 217)
    floor (0.474315643310547 × 131072)
    floor (62169.5)     		tx = 62169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260334014892578 × 217)
    floor (0.260334014892578 × 131072)
    floor (34122.5)     		ty = 34122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62169 / 34122 ti = "17/62169/34122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62169/34122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62169 ÷ 217
    62169 ÷ 131072     		x = 0.474311828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34122 ÷ 217
    34122 ÷ 131072     		y = 0.260330200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474311828613281 × 2 - 1) × π
    -0.0513763427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16140354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260330200195312 × 2 - 1) × π
    0.479339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50588976466444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16140354} λ = -0.16140354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50588976466444))-π/2
    2×atan(4.50816305048764)-π/2
    2×1.35251086155223-π/2
    2.70502172310446-1.57079632675     		φ = 1.13422540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16140354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.247742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13422540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.986328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62169 KachelY 34122 -0.16140354 1.13422540 -9.247742 64.986328
    Oben rechts KachelX + 1 62170 KachelY 34122 -0.16135560 1.13422540 -9.244995 64.986328
    Unten links KachelX 62169 KachelY + 1 34123 -0.16140354 1.13420513 -9.247742 64.985167
    Unten rechts KachelX + 1 62170 KachelY + 1 34123 -0.16135560 1.13420513 -9.244995 64.985167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13422540-1.13420513) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13422540-1.13420513) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16140354--0.16135560) × cos(1.13422540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.42283450724913 × 6371000     		do = 129.144542274166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16140354--0.16135560) × cos(1.13420513) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.422852875976505 × 6371000     		du = 129.150152556317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13422540)-sin(1.13420513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42283450724913-0.422852875976505)×R²
    abs(-0.16135560--0.16140354)×1.83687273749844e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83687273749844e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83687273749844e-05×40589641000000     		ar = 16678.1104008995m²