Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62168 / 40232
↖ ↑ ↗
← N 56.885002°
W  9.250488°		 ← 166.86 m → N 56.885002°
W  9.247742°		 →
↑
166.86 m
↓
↑
166.86 m
↓
N 56.883501°
W  9.250488°		 ← 166.87 m →
27 842 m²		 N 56.883501°
W  9.247742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474308013916016 y=0.306949615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474308013916016 × 217)
    floor (0.474308013916016 × 131072)
    floor (62168.5)     		tx = 62168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306949615478516 × 217)
    floor (0.306949615478516 × 131072)
    floor (40232.5)     		ty = 40232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62168 / 40232 ti = "17/62168/40232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62168/40232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62168 ÷ 217
    62168 ÷ 131072     		x = 0.47430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40232 ÷ 217
    40232 ÷ 131072     		y = 0.30694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.0513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16145148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30694580078125 × 2 - 1) × π
    0.3861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2129953079859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16145148} λ = -0.16145148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2129953079859))-π/2
    2×atan(3.3635444304547)-π/2
    2×1.28181345090009-π/2
    2.56362690180019-1.57079632675     		φ = 0.99283058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16145148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.250488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99283058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.885002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62168 KachelY 40232 -0.16145148 0.99283058 -9.250488 56.885002
    Oben rechts KachelX + 1 62169 KachelY 40232 -0.16140354 0.99283058 -9.247742 56.885002
    Unten links KachelX 62168 KachelY + 1 40233 -0.16145148 0.99280439 -9.250488 56.883501
    Unten rechts KachelX + 1 62169 KachelY + 1 40233 -0.16140354 0.99280439 -9.247742 56.883501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99283058-0.99280439) × R
    2.6190000000037e-05 × 6371000     		dl = 166.856490000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99283058-0.99280439) × R
    2.6190000000037e-05 × 6371000     		dr = 166.856490000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16145148--0.16140354) × cos(0.99283058) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546321227226779 × 6371000     		do = 166.860565103434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16145148--0.16140354) × cos(0.99280439) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546343163147986 × 6371000     		du = 166.867264898402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99283058)-sin(0.99280439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546321227226779-0.546343163147986)×R²
    abs(-0.16140354--0.16145148)×2.19359212073611e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19359212073611e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19359212073611e-05×40589641000000     		ar = 27842.3271663305m²