Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62165 / 38171
↖ ↑ ↗
← N 59.851713°
W  9.258728°		 ← 153.40 m → N 59.851713°
W  9.255981°		 →
↑
153.41 m
↓
↑
153.41 m
↓
N 59.850333°
W  9.258728°		 ← 153.40 m →
23 534 m²		 N 59.850333°
W  9.255981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474285125732422 y=0.291225433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474285125732422 × 217)
    floor (0.474285125732422 × 131072)
    floor (62165.5)     		tx = 62165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291225433349609 × 217)
    floor (0.291225433349609 × 131072)
    floor (38171.5)     		ty = 38171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62165 / 38171 ti = "17/62165/38171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62165/38171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62165 ÷ 217
    62165 ÷ 131072     		x = 0.474281311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38171 ÷ 217
    38171 ÷ 131072     		y = 0.291221618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474281311035156 × 2 - 1) × π
    -0.0514373779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16159529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291221618652344 × 2 - 1) × π
    0.417556762695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.31179325810284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16159529} λ = -0.16159529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31179325810284))-π/2
    2×atan(3.7128258009235)-π/2
    2×1.30770288893306-π/2
    2.61540577786612-1.57079632675     		φ = 1.04460945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16159529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.258728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04460945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.851713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62165 KachelY 38171 -0.16159529 1.04460945 -9.258728 59.851713
    Oben rechts KachelX + 1 62166 KachelY 38171 -0.16154735 1.04460945 -9.255981 59.851713
    Unten links KachelX 62165 KachelY + 1 38172 -0.16159529 1.04458537 -9.258728 59.850333
    Unten rechts KachelX + 1 62166 KachelY + 1 38172 -0.16154735 1.04458537 -9.255981 59.850333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04460945-1.04458537) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dl = 153.413679999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04460945-1.04458537) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dr = 153.413679999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16159529--0.16154735) × cos(1.04460945) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.502239684315597 × 6371000     		do = 153.396927239446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16159529--0.16154735) × cos(1.04458537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.502260506831161 × 6371000     		du = 153.403286971671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04460945)-sin(1.04458537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502239684315597-0.502260506831161)×R²
    abs(-0.16154735--0.16159529)×2.08225155641228e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08225155641228e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08225155641228e-05×40589641000000     		ar = 23533.6749445522m²