Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62165 / 34123
↖ ↑ ↗
← N 64.985167°
W  9.258728°		 ← 129.15 m → N 64.985167°
W  9.255981°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
N 64.984006°
W  9.258728°		 ← 129.16 m →
16 679 m²		 N 64.984006°
W  9.255981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474285125732422 y=0.260341644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474285125732422 × 217)
    floor (0.474285125732422 × 131072)
    floor (62165.5)     		tx = 62165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260341644287109 × 217)
    floor (0.260341644287109 × 131072)
    floor (34123.5)     		ty = 34123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62165 / 34123 ti = "17/62165/34123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62165/34123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62165 ÷ 217
    62165 ÷ 131072     		x = 0.474281311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34123 ÷ 217
    34123 ÷ 131072     		y = 0.260337829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474281311035156 × 2 - 1) × π
    -0.0514373779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16159529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260337829589844 × 2 - 1) × π
    0.479324340820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.50584182776482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16159529} λ = -0.16159529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50584182776482))-π/2
    2×atan(4.50794694830769)-π/2
    2×1.35250072664435-π/2
    2.70500145328871-1.57079632675     		φ = 1.13420513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16159529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.258728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13420513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.985167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62165 KachelY 34123 -0.16159529 1.13420513 -9.258728 64.985167
    Oben rechts KachelX + 1 62166 KachelY 34123 -0.16154735 1.13420513 -9.255981 64.985167
    Unten links KachelX 62165 KachelY + 1 34124 -0.16159529 1.13418486 -9.258728 64.984006
    Unten rechts KachelX + 1 62166 KachelY + 1 34124 -0.16154735 1.13418486 -9.255981 64.984006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13420513-1.13418486) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13420513-1.13418486) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16159529--0.16154735) × cos(1.13420513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422852875976505 × 6371000     		do = 129.150152556242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16159529--0.16154735) × cos(1.13418486) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422871244530141 × 6371000     		du = 129.155762785329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13420513)-sin(1.13418486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422852875976505-0.422871244530141)×R²
    abs(-0.16154735--0.16159529)×1.83685536361833e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83685536361833e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83685536361833e-05×40589641000000     		ar = 16678.83491034m²