Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62164 / 75598
↖ ↑ ↗
← S 26.622907°
W  9.261475°		 ← 273.04 m → S 26.622907°
W  9.258728°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
S 26.625363°
W  9.261475°		 ← 273.04 m →
74 557 m²		 S 26.625363°
W  9.258728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474277496337891 y=0.576770782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474277496337891 × 217)
    floor (0.474277496337891 × 131072)
    floor (62164.5)     		tx = 62164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576770782470703 × 217)
    floor (0.576770782470703 × 131072)
    floor (75598.5)     		ty = 75598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62164 / 75598 ti = "17/62164/75598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62164/75598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62164 ÷ 217
    62164 ÷ 131072     		x = 0.474273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75598 ÷ 217
    75598 ÷ 131072     		y = 0.576766967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.05145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16164323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576766967773438 × 2 - 1) × π
    -0.153533935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.482341083977005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16164323} λ = -0.16164323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482341083977005))-π/2
    2×atan(0.617336462274963)-π/2
    2×0.553069466543264-π/2
    1.10613893308653-1.57079632675     		φ = -0.46465739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16164323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46465739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.622907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62164 KachelY 75598 -0.16164323 -0.46465739 -9.261475 -26.622907
    Oben rechts KachelX + 1 62165 KachelY 75598 -0.16159529 -0.46465739 -9.258728 -26.622907
    Unten links KachelX 62164 KachelY + 1 75599 -0.16164323 -0.46470025 -9.261475 -26.625363
    Unten rechts KachelX + 1 62165 KachelY + 1 75599 -0.16159529 -0.46470025 -9.258728 -26.625363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46465739--0.46470025) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46465739--0.46470025) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16164323--0.16159529) × cos(-0.46465739) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.893975147280611 × 6371000     		do = 273.043020899769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16164323--0.16159529) × cos(-0.46470025) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.89395594018448 × 6371000     		du = 273.037154558219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46465739)-sin(-0.46470025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893975147280611-0.89395594018448)×R²
    abs(-0.16159529--0.16164323)×1.92070961310131e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92070961310131e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92070961310131e-05×40589641000000     		ar = 74556.6157890936m²