Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62163 / 75602
↖ ↑ ↗
← S 26.632728°
W  9.264221°		 ← 272.96 m → S 26.632728°
W  9.261475°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
S 26.635184°
W  9.264221°		 ← 272.96 m →
74 517 m²		 S 26.635184°
W  9.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474269866943359 y=0.576801300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474269866943359 × 217)
    floor (0.474269866943359 × 131072)
    floor (62163.5)     		tx = 62163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576801300048828 × 217)
    floor (0.576801300048828 × 131072)
    floor (75602.5)     		ty = 75602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62163 / 75602 ti = "17/62163/75602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62163/75602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62163 ÷ 217
    62163 ÷ 131072     		x = 0.474266052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75602 ÷ 217
    75602 ÷ 131072     		y = 0.576797485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474266052246094 × 2 - 1) × π
    -0.0514678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16169116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576797485351562 × 2 - 1) × π
    -0.153594970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.482532831575485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16169116} λ = -0.16169116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482532831575485))-π/2
    2×atan(0.617218100838991)-π/2
    2×0.552983761432217-π/2
    1.10596752286443-1.57079632675     		φ = -0.46482880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16169116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.264221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46482880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.632728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62163 KachelY 75602 -0.16169116 -0.46482880 -9.264221 -26.632728
    Oben rechts KachelX + 1 62164 KachelY 75602 -0.16164323 -0.46482880 -9.261475 -26.632728
    Unten links KachelX 62163 KachelY + 1 75603 -0.16169116 -0.46487165 -9.264221 -26.635184
    Unten rechts KachelX + 1 62164 KachelY + 1 75603 -0.16164323 -0.46487165 -9.261475 -26.635184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46482880--0.46487165) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dl = 272.997350000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46482880--0.46487165) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dr = 272.997350000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16169116--0.16164323) × cos(-0.46482880) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.893898322491248 × 6371000     		do = 272.962606369531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16169116--0.16164323) × cos(-0.46487165) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.893879113310844 × 6371000     		du = 272.956740615208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46482880)-sin(-0.46487165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893898322491248-0.893879113310844)×R²
    abs(-0.16164323--0.16169116)×1.92091804044336e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.92091804044336e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.92091804044336e-05×40589641000000     		ar = 74517.2675317229m²