Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62161 / 40235
↖ ↑ ↗
← N 56.880500°
W  9.269715°		 ← 166.88 m → N 56.880500°
W  9.266968°		 →
↑
166.86 m
↓
↑
166.86 m
↓
N 56.878999°
W  9.269715°		 ← 166.89 m →
27 846 m²		 N 56.878999°
W  9.266968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474254608154297 y=0.306972503662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474254608154297 × 217)
    floor (0.474254608154297 × 131072)
    floor (62161.5)     		tx = 62161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306972503662109 × 217)
    floor (0.306972503662109 × 131072)
    floor (40235.5)     		ty = 40235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62161 / 40235 ti = "17/62161/40235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62161/40235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62161 ÷ 217
    62161 ÷ 131072     		x = 0.474250793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40235 ÷ 217
    40235 ÷ 131072     		y = 0.306968688964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474250793457031 × 2 - 1) × π
    -0.0514984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16178704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306968688964844 × 2 - 1) × π
    0.386062622070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.21285149728704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16178704} λ = -0.16178704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21285149728704))-π/2
    2×atan(3.36306075155944)-π/2
    2×1.2817741651151-π/2
    2.56354833023021-1.57079632675     		φ = 0.99275200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16178704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.269715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99275200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.880500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62161 KachelY 40235 -0.16178704 0.99275200 -9.269715 56.880500
    Oben rechts KachelX + 1 62162 KachelY 40235 -0.16173910 0.99275200 -9.266968 56.880500
    Unten links KachelX 62161 KachelY + 1 40236 -0.16178704 0.99272581 -9.269715 56.878999
    Unten rechts KachelX + 1 62162 KachelY + 1 40236 -0.16173910 0.99272581 -9.266968 56.878999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99275200-0.99272581) × R
    2.6189999999926e-05 × 6371000     		dl = 166.856489999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99275200-0.99272581) × R
    2.6189999999926e-05 × 6371000     		dr = 166.856489999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16178704--0.16173910) × cos(0.99275200) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546387042241477 × 6371000     		do = 166.880666703002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16178704--0.16173910) × cos(0.99272581) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54640897703826 × 6371000     		du = 166.887366154541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99275200)-sin(0.99272581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546387042241477-0.54640897703826)×R²
    abs(-0.16173910--0.16178704)×2.19347967822525e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19347967822525e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19347967822525e-05×40589641000000     		ar = 27845.6812198509m²