Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6216 / 10568
↖ ↑ ↗
← S 46.195042°
W 43.417969°		 ← 1 691.25 m → S 46.195042°
W 43.395996°		 →
↑
1 690.99 m
↓
↑
1 690.99 m
↓
S 46.210249°
W 43.417969°		 ← 1 690.78 m →
2 859 494 m²		 S 46.210249°
W 43.395996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379425048828125 y=0.645050048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379425048828125 × 214)
    floor (0.379425048828125 × 16384)
    floor (6216.5)     		tx = 6216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645050048828125 × 214)
    floor (0.645050048828125 × 16384)
    floor (10568.5)     		ty = 10568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6216 / 10568 ti = "14/6216/10568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6216/10568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6216 ÷ 214
    6216 ÷ 16384     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10568 ÷ 214
    10568 ÷ 16384     		y = 0.64501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64501953125 × 2 - 1) × π
    -0.2900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.911184587978027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911184587978027))-π/2
    2×atan(0.402047680986289)-π/2
    2×0.38227037195969-π/2
    0.76454074391938-1.57079632675     		φ = -0.80625558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80625558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.195042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6216 KachelY 10568 -0.75778651 -0.80625558 -43.417969 -46.195042
    Oben rechts KachelX + 1 6217 KachelY 10568 -0.75740301 -0.80625558 -43.395996 -46.195042
    Unten links KachelX 6216 KachelY + 1 10569 -0.75778651 -0.80652100 -43.417969 -46.210249
    Unten rechts KachelX + 1 6217 KachelY + 1 10569 -0.75740301 -0.80652100 -43.395996 -46.210249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80625558--0.80652100) × R
    0.000265420000000072 × 6371000     		dl = 1690.99082000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80625558--0.80652100) × R
    0.000265420000000072 × 6371000     		dr = 1690.99082000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75740301) × cos(-0.80625558) × R
    0.000383499999999981 × 0.692205628382587 × 6371000     		do = 1691.25112940608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75740301) × cos(-0.80652100) × R
    0.000383499999999981 × 0.692014050300759 × 6371000     		du = 1690.78305079768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80625558)-sin(-0.80652100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692205628382587-0.692014050300759)×R²
    abs(-0.75740301--0.75778651)×0.000191578081828125×R²
    0.000383499999999981×0.000191578081828125×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191578081828125×40589641000000     		ar = 2859494.39261422m²