Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62159 / 40239
↖ ↑ ↗
← N 56.874497°
W  9.275208°		 ← 166.91 m → N 56.874497°
W  9.272461°		 →
↑
166.92 m
↓
↑
166.92 m
↓
N 56.872996°
W  9.275208°		 ← 166.91 m →
27 861 m²		 N 56.872996°
W  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474239349365234 y=0.307003021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474239349365234 × 217)
    floor (0.474239349365234 × 131072)
    floor (62159.5)     		tx = 62159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307003021240234 × 217)
    floor (0.307003021240234 × 131072)
    floor (40239.5)     		ty = 40239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62159 / 40239 ti = "17/62159/40239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62159/40239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62159 ÷ 217
    62159 ÷ 131072     		x = 0.474235534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40239 ÷ 217
    40239 ÷ 131072     		y = 0.306999206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474235534667969 × 2 - 1) × π
    -0.0515289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16188291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306999206542969 × 2 - 1) × π
    0.386001586914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.21265974968856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16188291} λ = -0.16188291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21265974968856))-π/2
    2×atan(3.3624159545579)-π/2
    2×1.28172177670734-π/2
    2.56344355341467-1.57079632675     		φ = 0.99264723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16188291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.275208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99264723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.874497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62159 KachelY 40239 -0.16188291 0.99264723 -9.275208 56.874497
    Oben rechts KachelX + 1 62160 KachelY 40239 -0.16183497 0.99264723 -9.272461 56.874497
    Unten links KachelX 62159 KachelY + 1 40240 -0.16188291 0.99262103 -9.275208 56.872996
    Unten rechts KachelX + 1 62160 KachelY + 1 40240 -0.16183497 0.99262103 -9.272461 56.872996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99264723-0.99262103) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dl = 166.920199999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99264723-0.99262103) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dr = 166.920199999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16188291--0.16183497) × cos(0.99264723) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546474787554558 × 6371000     		do = 166.907466380181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16188291--0.16183497) × cos(0.99262103) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546496729226556 × 6371000     		du = 166.914167931588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99264723)-sin(0.99262103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546474787554558-0.546496729226556)×R²
    abs(-0.16183497--0.16188291)×2.19416719984267e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19416719984267e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19416719984267e-05×40589641000000     		ar = 27860.7869834672m²