Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62158 / 40234
↖ ↑ ↗
← N 56.882001°
W  9.277954°		 ← 166.87 m → N 56.882001°
W  9.275208°		 →
↑
166.92 m
↓
↑
166.92 m
↓
N 56.880500°
W  9.277954°		 ← 166.88 m →
27 855 m²		 N 56.880500°
W  9.275208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474231719970703 y=0.306964874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474231719970703 × 217)
    floor (0.474231719970703 × 131072)
    floor (62158.5)     		tx = 62158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306964874267578 × 217)
    floor (0.306964874267578 × 131072)
    floor (40234.5)     		ty = 40234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62158 / 40234 ti = "17/62158/40234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62158/40234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62158 ÷ 217
    62158 ÷ 131072     		x = 0.474227905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40234 ÷ 217
    40234 ÷ 131072     		y = 0.306961059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474227905273438 × 2 - 1) × π
    -0.051544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16193085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306961059570312 × 2 - 1) × π
    0.386077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21289943418666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16193085} λ = -0.16193085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21289943418666))-π/2
    2×atan(3.36322197012923)-π/2
    2×1.28178726090254-π/2
    2.56357452180508-1.57079632675     		φ = 0.99277820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16193085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.277954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99277820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.882001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62158 KachelY 40234 -0.16193085 0.99277820 -9.277954 56.882001
    Oben rechts KachelX + 1 62159 KachelY 40234 -0.16188291 0.99277820 -9.275208 56.882001
    Unten links KachelX 62158 KachelY + 1 40235 -0.16193085 0.99275200 -9.277954 56.880500
    Unten rechts KachelX + 1 62159 KachelY + 1 40235 -0.16188291 0.99275200 -9.275208 56.880500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99277820-0.99275200) × R
    2.62000000000873e-05 × 6371000     		dl = 166.920200000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99277820-0.99275200) × R
    2.62000000000873e-05 × 6371000     		dr = 166.920200000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16193085--0.16188291) × cos(0.99277820) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546365098694448 × 6371000     		do = 166.873964578912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16193085--0.16188291) × cos(0.99275200) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546387042241477 × 6371000     		du = 166.880666703002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99277820)-sin(0.99275200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546365098694448-0.546387042241477)×R²
    abs(-0.16188291--0.16193085)×2.1943547029224e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1943547029224e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1943547029224e-05×40589641000000     		ar = 27855.1949040109m²