Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62158 / 39499
↖ ↑ ↗
← N 57.968788°
W  9.277954°		 ← 161.99 m → N 57.968788°
W  9.275208°		 →
↑
162.01 m
↓
↑
162.01 m
↓
N 57.967331°
W  9.277954°		 ← 162 m →
26 246 m²		 N 57.967331°
W  9.275208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474231719970703 y=0.301357269287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474231719970703 × 217)
    floor (0.474231719970703 × 131072)
    floor (62158.5)     		tx = 62158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301357269287109 × 217)
    floor (0.301357269287109 × 131072)
    floor (39499.5)     		ty = 39499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62158 / 39499 ti = "17/62158/39499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62158/39499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62158 ÷ 217
    62158 ÷ 131072     		x = 0.474227905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39499 ÷ 217
    39499 ÷ 131072     		y = 0.301353454589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474227905273438 × 2 - 1) × π
    -0.051544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16193085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301353454589844 × 2 - 1) × π
    0.397293090820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.2481330554074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16193085} λ = -0.16193085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2481330554074))-π/2
    2×atan(3.48383275953144)-π/2
    2×1.2912712661182-π/2
    2.5825425322364-1.57079632675     		φ = 1.01174621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16193085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.277954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01174621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.968788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62158 KachelY 39499 -0.16193085 1.01174621 -9.277954 57.968788
    Oben rechts KachelX + 1 62159 KachelY 39499 -0.16188291 1.01174621 -9.275208 57.968788
    Unten links KachelX 62158 KachelY + 1 39500 -0.16193085 1.01172078 -9.277954 57.967331
    Unten rechts KachelX + 1 62159 KachelY + 1 39500 -0.16188291 1.01172078 -9.275208 57.967331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01174621-1.01172078) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dl = 162.014529999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01174621-1.01172078) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dr = 162.014529999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16193085--0.16188291) × cos(1.01174621) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530381165002699 × 6371000     		do = 161.992059802999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16193085--0.16188291) × cos(1.01172078) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530402723350037 × 6371000     		du = 161.998644277188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01174621)-sin(1.01172078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530381165002699-0.530402723350037)×R²
    abs(-0.16188291--0.16193085)×2.15583473379688e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15583473379688e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15583473379688e-05×40589641000000     		ar = 26245.6008244505m²