Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62156 / 40244
↖ ↑ ↗
← N 56.866991°
W  9.283447°		 ← 166.94 m → N 56.866991°
W  9.280700°		 →
↑
166.92 m
↓
↑
166.92 m
↓
N 56.865490°
W  9.283447°		 ← 166.95 m →
27 866 m²		 N 56.865490°
W  9.280700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474216461181641 y=0.307041168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474216461181641 × 217)
    floor (0.474216461181641 × 131072)
    floor (62156.5)     		tx = 62156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307041168212891 × 217)
    floor (0.307041168212891 × 131072)
    floor (40244.5)     		ty = 40244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62156 / 40244 ti = "17/62156/40244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62156/40244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62156 ÷ 217
    62156 ÷ 131072     		x = 0.474212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40244 ÷ 217
    40244 ÷ 131072     		y = 0.307037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.05157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16202672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307037353515625 × 2 - 1) × π
    0.38592529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21242006519046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16202672} λ = -0.16202672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21242006519046))-π/2
    2×atan(3.36161013215285)-π/2
    2×1.28165627936618-π/2
    2.56331255873236-1.57079632675     		φ = 0.99251623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16202672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99251623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.866991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62156 KachelY 40244 -0.16202672 0.99251623 -9.283447 56.866991
    Oben rechts KachelX + 1 62157 KachelY 40244 -0.16197878 0.99251623 -9.280700 56.866991
    Unten links KachelX 62156 KachelY + 1 40245 -0.16202672 0.99249003 -9.283447 56.865490
    Unten rechts KachelX + 1 62157 KachelY + 1 40245 -0.16197878 0.99249003 -9.280700 56.865490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99251623-0.99249003) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dl = 166.920199999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99251623-0.99249003) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dr = 166.920199999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16202672--0.16197878) × cos(0.99251623) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546584492163027 × 6371000     		do = 166.940972991501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16202672--0.16197878) × cos(0.99249003) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.546606431959189 × 6371000     		du = 166.947673969979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99251623)-sin(0.99249003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546584492163027-0.546606431959189)×R²
    abs(-0.16197878--0.16202672)×2.19397961618295e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19397961618295e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19397961618295e-05×40589641000000     		ar = 27866.3798659405m²