Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62156 / 38420
↖ ↑ ↗
← N 59.506455°
W  9.283447°		 ← 154.99 m → N 59.506455°
W  9.280700°		 →
↑
154.94 m
↓
↑
154.94 m
↓
N 59.505061°
W  9.283447°		 ← 154.99 m →
24 014 m²		 N 59.505061°
W  9.280700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474216461181641 y=0.293125152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474216461181641 × 217)
    floor (0.474216461181641 × 131072)
    floor (62156.5)     		tx = 62156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293125152587891 × 217)
    floor (0.293125152587891 × 131072)
    floor (38420.5)     		ty = 38420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62156 / 38420 ti = "17/62156/38420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62156/38420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62156 ÷ 217
    62156 ÷ 131072     		x = 0.474212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38420 ÷ 217
    38420 ÷ 131072     		y = 0.293121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.05157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16202672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293121337890625 × 2 - 1) × π
    0.41375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29985697009744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16202672} λ = -0.16202672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29985697009744))-π/2
    2×atan(3.66877188600505)-π/2
    2×1.30468994575183-π/2
    2.60937989150366-1.57079632675     		φ = 1.03858356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16202672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03858356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.506455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62156 KachelY 38420 -0.16202672 1.03858356 -9.283447 59.506455
    Oben rechts KachelX + 1 62157 KachelY 38420 -0.16197878 1.03858356 -9.280700 59.506455
    Unten links KachelX 62156 KachelY + 1 38421 -0.16202672 1.03855924 -9.283447 59.505061
    Unten rechts KachelX + 1 62157 KachelY + 1 38421 -0.16197878 1.03855924 -9.280700 59.505061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03858356-1.03855924) × R
    2.43199999998556e-05 × 6371000     		dl = 154.94271999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03858356-1.03855924) × R
    2.43199999998556e-05 × 6371000     		dr = 154.94271999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16202672--0.16197878) × cos(1.03858356) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507441292852609 × 6371000     		do = 154.985632376143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16202672--0.16197878) × cos(1.03855924) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507462248914129 × 6371000     		du = 154.99203289674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03858356)-sin(1.03855924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507441292852609-0.507462248914129)×R²
    abs(-0.16197878--0.16202672)×2.09560615195281e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09560615195281e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09560615195281e-05×40589641000000     		ar = 24014.3912993023m²