Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62154 / 34407
↖ ↑ ↗
← N 64.653288°
W  9.288940°		 ← 130.72 m → N 64.653288°
W  9.286194°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
N 64.652112°
W  9.288940°		 ← 130.73 m →
17 090 m²		 N 64.652112°
W  9.286194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474201202392578 y=0.262508392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474201202392578 × 217)
    floor (0.474201202392578 × 131072)
    floor (62154.5)     		tx = 62154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262508392333984 × 217)
    floor (0.262508392333984 × 131072)
    floor (34407.5)     		ty = 34407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62154 / 34407 ti = "17/62154/34407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62154/34407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62154 ÷ 217
    62154 ÷ 131072     		x = 0.474197387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34407 ÷ 217
    34407 ÷ 131072     		y = 0.262504577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474197387695312 × 2 - 1) × π
    -0.051605224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16212259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262504577636719 × 2 - 1) × π
    0.474990844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.49222774827273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16212259} λ = -0.16212259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49222774827273))-π/2
    2×atan(4.44699126940989)-π/2
    2×1.34960453784719-π/2
    2.69920907569438-1.57079632675     		φ = 1.12841275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16212259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.288940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12841275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.653288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62154 KachelY 34407 -0.16212259 1.12841275 -9.288940 64.653288
    Oben rechts KachelX + 1 62155 KachelY 34407 -0.16207466 1.12841275 -9.286194 64.653288
    Unten links KachelX 62154 KachelY + 1 34408 -0.16212259 1.12839223 -9.288940 64.652112
    Unten rechts KachelX + 1 62155 KachelY + 1 34408 -0.16207466 1.12839223 -9.286194 64.652112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12841275-1.12839223) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dl = 130.732920000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12841275-1.12839223) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dr = 130.732920000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16212259--0.16207466) × cos(1.12841275) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.428094798119719 × 6371000     		do = 130.723896586282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16212259--0.16207466) × cos(1.12839223) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.428113342647875 × 6371000     		du = 130.729559381045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12841275)-sin(1.12839223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428094798119719-0.428113342647875)×R²
    abs(-0.16207466--0.16212259)×1.85445281559726e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85445281559726e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85445281559726e-05×40589641000000     		ar = 17090.2868721317m²