Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62153 / 40243
↖ ↑ ↗
← N 56.868492°
W  9.291687°		 ← 166.93 m → N 56.868492°
W  9.288940°		 →
↑
166.92 m
↓
↑
166.92 m
↓
N 56.866991°
W  9.291687°		 ← 166.94 m →
27 865 m²		 N 56.866991°
W  9.288940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474193572998047 y=0.307033538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474193572998047 × 217)
    floor (0.474193572998047 × 131072)
    floor (62153.5)     		tx = 62153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307033538818359 × 217)
    floor (0.307033538818359 × 131072)
    floor (40243.5)     		ty = 40243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62153 / 40243 ti = "17/62153/40243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62153/40243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62153 ÷ 217
    62153 ÷ 131072     		x = 0.474189758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40243 ÷ 217
    40243 ÷ 131072     		y = 0.307029724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474189758300781 × 2 - 1) × π
    -0.0516204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16217053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307029724121094 × 2 - 1) × π
    0.385940551757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.21246800209008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16217053} λ = -0.16217053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21246800209008))-π/2
    2×atan(3.36177128118278)-π/2
    2×1.28166937988616-π/2
    2.56333875977232-1.57079632675     		φ = 0.99254243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16217053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.291687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99254243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.868492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62153 KachelY 40243 -0.16217053 0.99254243 -9.291687 56.868492
    Oben rechts KachelX + 1 62154 KachelY 40243 -0.16212259 0.99254243 -9.288940 56.868492
    Unten links KachelX 62153 KachelY + 1 40244 -0.16217053 0.99251623 -9.291687 56.866991
    Unten rechts KachelX + 1 62154 KachelY + 1 40244 -0.16212259 0.99251623 -9.288940 56.866991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99254243-0.99251623) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dl = 166.920199999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99254243-0.99251623) × R
    2.61999999999762e-05 × 6371000     		dr = 166.920199999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16217053--0.16212259) × cos(0.99254243) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546562551991668 × 6371000     		do = 166.934271898331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16217053--0.16212259) × cos(0.99251623) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546584492163027 × 6371000     		du = 166.940972991404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99254243)-sin(0.99251623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546562551991668-0.546584492163027)×R²
    abs(-0.16212259--0.16217053)×2.19401713591472e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19401713591472e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19401713591472e-05×40589641000000     		ar = 27865.2613275846m²