Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62152 / 39498
↖ ↑ ↗
← N 57.970244°
W  9.294434°		 ← 161.99 m → N 57.970244°
W  9.291687°		 →
↑
161.95 m
↓
↑
161.95 m
↓
N 57.968788°
W  9.294434°		 ← 161.99 m →
26 234 m²		 N 57.968788°
W  9.291687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474185943603516 y=0.301349639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474185943603516 × 217)
    floor (0.474185943603516 × 131072)
    floor (62152.5)     		tx = 62152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301349639892578 × 217)
    floor (0.301349639892578 × 131072)
    floor (39498.5)     		ty = 39498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62152 / 39498 ti = "17/62152/39498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62152/39498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62152 ÷ 217
    62152 ÷ 131072     		x = 0.47418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39498 ÷ 217
    39498 ÷ 131072     		y = 0.301345825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.0516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16221847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301345825195312 × 2 - 1) × π
    0.397308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24818099230702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16221847} λ = -0.16221847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24818099230702))-π/2
    2×atan(3.48399976767562)-π/2
    2×1.29128397827432-π/2
    2.58256795654864-1.57079632675     		φ = 1.01177163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16221847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.294434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01177163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.970244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62152 KachelY 39498 -0.16221847 1.01177163 -9.294434 57.970244
    Oben rechts KachelX + 1 62153 KachelY 39498 -0.16217053 1.01177163 -9.291687 57.970244
    Unten links KachelX 62152 KachelY + 1 39499 -0.16221847 1.01174621 -9.294434 57.968788
    Unten rechts KachelX + 1 62153 KachelY + 1 39499 -0.16217053 1.01174621 -9.291687 57.968788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01177163-1.01174621) × R
    2.54199999998317e-05 × 6371000     		dl = 161.950819998928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01177163-1.01174621) × R
    2.54199999998317e-05 × 6371000     		dr = 161.950819998928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16221847--0.16217053) × cos(1.01177163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530359614790099 × 6371000     		do = 161.985477813369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16221847--0.16217053) × cos(1.01174621) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530381165002699 × 6371000     		du = 161.992059802999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01177163)-sin(1.01174621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530359614790099-0.530381165002699)×R²
    abs(-0.16217053--0.16221847)×2.15502125996414e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15502125996414e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15502125996414e-05×40589641000000     		ar = 26234.2139405406m²