Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62151 / 75462
↖ ↑ ↗
← S 26.288490°
W  9.297180°		 ← 273.84 m → S 26.288490°
W  9.294434°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
S 26.290953°
W  9.297180°		 ← 273.83 m →
74 983 m²		 S 26.290953°
W  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474178314208984 y=0.575733184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474178314208984 × 217)
    floor (0.474178314208984 × 131072)
    floor (62151.5)     		tx = 62151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575733184814453 × 217)
    floor (0.575733184814453 × 131072)
    floor (75462.5)     		ty = 75462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62151 / 75462 ti = "17/62151/75462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62151/75462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62151 ÷ 217
    62151 ÷ 131072     		x = 0.474174499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75462 ÷ 217
    75462 ÷ 131072     		y = 0.575729370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474174499511719 × 2 - 1) × π
    -0.0516510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16226641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575729370117188 × 2 - 1) × π
    -0.151458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.475821665628677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16226641} λ = -0.16226641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475821665628677))-π/2
    2×atan(0.621374284759649)-π/2
    2×0.555987809828037-π/2
    1.11197561965607-1.57079632675     		φ = -0.45882071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16226641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.297180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45882071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.288490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62151 KachelY 75462 -0.16226641 -0.45882071 -9.297180 -26.288490
    Oben rechts KachelX + 1 62152 KachelY 75462 -0.16221847 -0.45882071 -9.294434 -26.288490
    Unten links KachelX 62151 KachelY + 1 75463 -0.16226641 -0.45886369 -9.297180 -26.290953
    Unten rechts KachelX + 1 62152 KachelY + 1 75463 -0.16221847 -0.45886369 -9.294434 -26.290953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45882071--0.45886369) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dl = 273.825579999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45882071--0.45886369) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dr = 273.825579999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16226641--0.16221847) × cos(-0.45882071) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896575417886048 × 6371000     		do = 273.837210473634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16226641--0.16221847) × cos(-0.45886369) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896556381598774 × 6371000     		du = 273.831396301507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45882071)-sin(-0.45886369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896575417886048-0.896556381598774)×R²
    abs(-0.16221847--0.16226641)×1.90362872738437e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90362872738437e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90362872738437e-05×40589641000000     		ar = 74982.8369604863m²