Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62151 / 39511
↖ ↑ ↗
← N 57.951302°
W  9.297180°		 ← 162.07 m → N 57.951302°
W  9.294434°		 →
↑
162.01 m
↓
↑
162.01 m
↓
N 57.949845°
W  9.297180°		 ← 162.08 m →
26 258 m²		 N 57.949845°
W  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474178314208984 y=0.301448822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474178314208984 × 217)
    floor (0.474178314208984 × 131072)
    floor (62151.5)     		tx = 62151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301448822021484 × 217)
    floor (0.301448822021484 × 131072)
    floor (39511.5)     		ty = 39511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62151 / 39511 ti = "17/62151/39511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62151/39511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62151 ÷ 217
    62151 ÷ 131072     		x = 0.474174499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39511 ÷ 217
    39511 ÷ 131072     		y = 0.301445007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474174499511719 × 2 - 1) × π
    -0.0516510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16226641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301445007324219 × 2 - 1) × π
    0.397109985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.24755781261196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16226641} λ = -0.16226641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24755781261196))-π/2
    2×atan(3.48182928613306)-π/2
    2×1.29111867994482-π/2
    2.58223735988965-1.57079632675     		φ = 1.01144103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16226641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.297180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01144103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.951302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62151 KachelY 39511 -0.16226641 1.01144103 -9.297180 57.951302
    Oben rechts KachelX + 1 62152 KachelY 39511 -0.16221847 1.01144103 -9.294434 57.951302
    Unten links KachelX 62151 KachelY + 1 39512 -0.16226641 1.01141560 -9.297180 57.949845
    Unten rechts KachelX + 1 62152 KachelY + 1 39512 -0.16221847 1.01141560 -9.294434 57.949845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01144103-1.01141560) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dl = 162.014529999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01144103-1.01141560) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dr = 162.014529999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16226641--0.16221847) × cos(1.01144103) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53063985948141 × 6371000     		do = 162.071071755593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16226641--0.16221847) × cos(1.01141560) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530661413711517 × 6371000     		du = 162.077654972274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01144103)-sin(1.01141560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53063985948141-0.530661413711517)×R²
    abs(-0.16221847--0.16226641)×2.15542301068572e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15542301068572e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15542301068572e-05×40589641000000     		ar = 26258.4018067674m²