Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6215 / 2118
↖ ↑ ↗
← N 65.256707°
E 93.120117°		 ← 2 045.29 m → N 65.256707°
E 93.164063°		 →
↑
2 045.98 m
↓
↑
2 045.98 m
↓
N 65.238307°
E 93.120117°		 ← 2 046.71 m →
4 186 077 m²		 N 65.238307°
E 93.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75872802734375 y=0.25860595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75872802734375 × 213)
    floor (0.75872802734375 × 8192)
    floor (6215.5)     		tx = 6215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25860595703125 × 213)
    floor (0.25860595703125 × 8192)
    floor (2118.5)     		ty = 2118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6215 / 2118 ti = "13/6215/2118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6215/2118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6215 ÷ 213
    6215 ÷ 8192     		x = 0.7586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2118 ÷ 213
    2118 ÷ 8192     		y = 0.258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7586669921875 × 2 - 1) × π
    0.517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.62525264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258544921875 × 2 - 1) × π
    0.48291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51710699917554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62525264} λ = 1.62525264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51710699917554))-π/2
    2×atan(4.55901685895893)-π/2
    2×1.35487035704744-π/2
    2.70974071409488-1.57079632675     		φ = 1.13894439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62525264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.120117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13894439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.256707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6215 KachelY 2118 1.62525264 1.13894439 93.120117 65.256707
    Oben rechts KachelX + 1 6216 KachelY 2118 1.62601964 1.13894439 93.164063 65.256707
    Unten links KachelX 6215 KachelY + 1 2119 1.62525264 1.13862325 93.120117 65.238307
    Unten rechts KachelX + 1 6216 KachelY + 1 2119 1.62601964 1.13862325 93.164063 65.238307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13894439-1.13862325) × R
    0.000321140000000053 × 6371000     		dl = 2045.98294000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13894439-1.13862325) × R
    0.000321140000000053 × 6371000     		dr = 2045.98294000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62525264-1.62601964) × cos(1.13894439) × R
    0.000766999999999962 × 0.418553433719698 × 6371000     		do = 2045.28521141693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62525264-1.62601964) × cos(1.13862325) × R
    0.000766999999999962 × 0.41884506896623 × 6371000     		du = 2046.71030367231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13894439)-sin(1.13862325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418553433719698-0.41884506896623)×R²
    abs(1.62601964-1.62525264)×0.000291635246532307×R²
    0.000766999999999962×0.000291635246532307×6371000²
    0.000766999999999962×0.000291635246532307×40589641000000     		ar = 4186076.54318941m²