Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62149 / 34388
↖ ↑ ↗
← N 64.675619°
W  9.302673°		 ← 130.64 m → N 64.675619°
W  9.299927°		 →
↑
130.67 m
↓
↑
130.67 m
↓
N 64.674444°
W  9.302673°		 ← 130.65 m →
17 071 m²		 N 64.674444°
W  9.299927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474163055419922 y=0.262363433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474163055419922 × 217)
    floor (0.474163055419922 × 131072)
    floor (62149.5)     		tx = 62149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262363433837891 × 217)
    floor (0.262363433837891 × 131072)
    floor (34388.5)     		ty = 34388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62149 / 34388 ti = "17/62149/34388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62149/34388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62149 ÷ 217
    62149 ÷ 131072     		x = 0.474159240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34388 ÷ 217
    34388 ÷ 131072     		y = 0.262359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474159240722656 × 2 - 1) × π
    -0.0516815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16236228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262359619140625 × 2 - 1) × π
    0.47528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49313854936551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16236228} λ = -0.16236228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49313854936551))-π/2
    2×atan(4.45104343899777)-π/2
    2×1.349799412234-π/2
    2.699598824468-1.57079632675     		φ = 1.12880250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16236228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.302673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12880250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.675619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62149 KachelY 34388 -0.16236228 1.12880250 -9.302673 64.675619
    Oben rechts KachelX + 1 62150 KachelY 34388 -0.16231434 1.12880250 -9.299927 64.675619
    Unten links KachelX 62149 KachelY + 1 34389 -0.16236228 1.12878199 -9.302673 64.674444
    Unten rechts KachelX + 1 62150 KachelY + 1 34389 -0.16231434 1.12878199 -9.299927 64.674444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12880250-1.12878199) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dl = 130.669209999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12880250-1.12878199) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dr = 130.669209999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16236228--0.16231434) × cos(1.12880250) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427742535351713 × 6371000     		do = 130.643580389263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16236228--0.16231434) × cos(1.12878199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427761074263377 × 6371000     		du = 130.649242650077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12880250)-sin(1.12878199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427742535351713-0.427761074263377)×R²
    abs(-0.16231434--0.16236228)×1.85389116639234e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85389116639234e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85389116639234e-05×40589641000000     		ar = 17071.4633831188m²