Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62144 / 33856
↖ ↑ ↗
← N 65.293468°
W  9.316406°		 ← 127.63 m → N 65.293468°
W  9.313660°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
N 65.292320°
W  9.316406°		 ← 127.64 m →
16 288 m²		 N 65.292320°
W  9.313660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474124908447266 y=0.258304595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474124908447266 × 217)
    floor (0.474124908447266 × 131072)
    floor (62144.5)     		tx = 62144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258304595947266 × 217)
    floor (0.258304595947266 × 131072)
    floor (33856.5)     		ty = 33856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62144 / 33856 ti = "17/62144/33856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62144/33856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62144 ÷ 217
    62144 ÷ 131072     		x = 0.47412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33856 ÷ 217
    33856 ÷ 131072     		y = 0.25830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25830078125 × 2 - 1) × π
    0.4833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16260196} λ = -0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51864097996338))-π/2
    2×atan(4.56601566988036)-π/2
    2×1.35519115997521-π/2
    2.71038231995043-1.57079632675     		φ = 1.13958599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13958599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.293468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62144 KachelY 33856 -0.16260196 1.13958599 -9.316406 65.293468
    Oben rechts KachelX + 1 62145 KachelY 33856 -0.16255403 1.13958599 -9.313660 65.293468
    Unten links KachelX 62144 KachelY + 1 33857 -0.16260196 1.13956596 -9.316406 65.292320
    Unten rechts KachelX + 1 62145 KachelY + 1 33857 -0.16255403 1.13956596 -9.313660 65.292320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13958599-1.13956596) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13958599-1.13956596) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16260196--0.16255403) × cos(1.13958599) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417970651512596 × 6371000     		do = 127.632366626313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16260196--0.16255403) × cos(1.13956596) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417988847893165 × 6371000     		du = 127.637923110022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13958599)-sin(1.13956596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417970651512596-0.417988847893165)×R²
    abs(-0.16255403--0.16260196)×1.81963805684915e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81963805684915e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81963805684915e-05×40589641000000     		ar = 16287.6650647482m²