Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62142 / 39581
↖ ↑ ↗
← N 57.849136°
W  9.321900°		 ← 162.53 m → N 57.849136°
W  9.319153°		 →
↑
162.52 m
↓
↑
162.52 m
↓
N 57.847674°
W  9.321900°		 ← 162.54 m →
26 416 m²		 N 57.847674°
W  9.319153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474109649658203 y=0.301982879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474109649658203 × 217)
    floor (0.474109649658203 × 131072)
    floor (62142.5)     		tx = 62142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301982879638672 × 217)
    floor (0.301982879638672 × 131072)
    floor (39581.5)     		ty = 39581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62142 / 39581 ti = "17/62142/39581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62142/39581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62142 ÷ 217
    62142 ÷ 131072     		x = 0.474105834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39581 ÷ 217
    39581 ÷ 131072     		y = 0.301979064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474105834960938 × 2 - 1) × π
    -0.051788330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16269784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301979064941406 × 2 - 1) × π
    0.396041870117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.24420222963856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16269784} λ = -0.16269784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24420222963856))-π/2
    2×atan(3.47016529974592)-π/2
    2×1.29022711008888-π/2
    2.58045422017777-1.57079632675     		φ = 1.00965789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16269784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.321900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00965789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.849136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62142 KachelY 39581 -0.16269784 1.00965789 -9.321900 57.849136
    Oben rechts KachelX + 1 62143 KachelY 39581 -0.16264990 1.00965789 -9.319153 57.849136
    Unten links KachelX 62142 KachelY + 1 39582 -0.16269784 1.00963238 -9.321900 57.847674
    Unten rechts KachelX + 1 62143 KachelY + 1 39582 -0.16264990 1.00963238 -9.319153 57.847674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00965789-1.00963238) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dl = 162.524209999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00965789-1.00963238) × R
    2.55099999999508e-05 × 6371000     		dr = 162.524209999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16269784--0.16264990) × cos(1.00965789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532150399886776 × 6371000     		do = 162.532429676796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16269784--0.16264990) × cos(1.00963238) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532171997751046 × 6371000     		du = 162.539026220473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00965789)-sin(1.00963238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532150399886776-0.532171997751046)×R²
    abs(-0.16264990--0.16269784)×2.15978642698067e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15978642698067e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15978642698067e-05×40589641000000     		ar = 26415.9907828517m²