Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62141 / 39613
↖ ↑ ↗
← N 57.802334°
W  9.324646°		 ← 162.71 m → N 57.802334°
W  9.321900°		 →
↑
162.72 m
↓
↑
162.72 m
↓
N 57.800871°
W  9.324646°		 ← 162.72 m →
26 476 m²		 N 57.800871°
W  9.321900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474102020263672 y=0.302227020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474102020263672 × 217)
    floor (0.474102020263672 × 131072)
    floor (62141.5)     		tx = 62141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302227020263672 × 217)
    floor (0.302227020263672 × 131072)
    floor (39613.5)     		ty = 39613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62141 / 39613 ti = "17/62141/39613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62141/39613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62141 ÷ 217
    62141 ÷ 131072     		x = 0.474098205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39613 ÷ 217
    39613 ÷ 131072     		y = 0.302223205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474098205566406 × 2 - 1) × π
    -0.0518035888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16274577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302223205566406 × 2 - 1) × π
    0.395553588867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.24266824885072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16274577} λ = -0.16274577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24266824885072))-π/2
    2×atan(3.4648462135765)-π/2
    2×1.28981869073281-π/2
    2.57963738146562-1.57079632675     		φ = 1.00884105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16274577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.324646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00884105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.802334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62141 KachelY 39613 -0.16274577 1.00884105 -9.324646 57.802334
    Oben rechts KachelX + 1 62142 KachelY 39613 -0.16269784 1.00884105 -9.321900 57.802334
    Unten links KachelX 62141 KachelY + 1 39614 -0.16274577 1.00881551 -9.324646 57.800871
    Unten rechts KachelX + 1 62142 KachelY + 1 39614 -0.16269784 1.00881551 -9.321900 57.800871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00884105-1.00881551) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dl = 162.71533999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00884105-1.00881551) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dr = 162.71533999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16274577--0.16269784) × cos(1.00884105) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.53284179973263 × 6371000     		do = 162.709653635215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16274577--0.16269784) × cos(1.00881551) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.532863411886778 × 6371000     		du = 162.716253166478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00884105)-sin(1.00881551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53284179973263-0.532863411886778)×R²
    abs(-0.16269784--0.16274577)×2.16121541479763e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16121541479763e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16121541479763e-05×40589641000000     		ar = 26475.8935362919m²