Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62140 / 35094
↖ ↑ ↗
← N 63.833402°
W  9.327393°		 ← 134.69 m → N 63.833402°
W  9.324646°		 →
↑
134.68 m
↓
↑
134.68 m
↓
N 63.832191°
W  9.327393°		 ← 134.69 m →
18 140 m²		 N 63.832191°
W  9.324646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474094390869141 y=0.267749786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474094390869141 × 217)
    floor (0.474094390869141 × 131072)
    floor (62140.5)     		tx = 62140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267749786376953 × 217)
    floor (0.267749786376953 × 131072)
    floor (35094.5)     		ty = 35094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62140 / 35094 ti = "17/62140/35094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62140/35094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62140 ÷ 217
    62140 ÷ 131072     		x = 0.474090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35094 ÷ 217
    35094 ÷ 131072     		y = 0.267745971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.05181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16279371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267745971679688 × 2 - 1) × π
    0.464508056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45929509823375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16279371} λ = -0.16279371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45929509823375))-π/2
    2×atan(4.30292531940353)-π/2
    2×1.34244968404455-π/2
    2.68489936808909-1.57079632675     		φ = 1.11410304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16279371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.327393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11410304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.833402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62140 KachelY 35094 -0.16279371 1.11410304 -9.327393 63.833402
    Oben rechts KachelX + 1 62141 KachelY 35094 -0.16274577 1.11410304 -9.324646 63.833402
    Unten links KachelX 62140 KachelY + 1 35095 -0.16279371 1.11408190 -9.327393 63.832191
    Unten rechts KachelX + 1 62141 KachelY + 1 35095 -0.16274577 1.11408190 -9.324646 63.832191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11410304-1.11408190) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dl = 134.682940000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11410304-1.11408190) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dr = 134.682940000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16279371--0.16274577) × cos(1.11410304) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440982696598937 × 6371000     		do = 134.687466435915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16279371--0.16274577) × cos(1.11408190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441001669980289 × 6371000     		du = 134.693261394955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11410304)-sin(1.11408190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440982696598937-0.441001669980289)×R²
    abs(-0.16274577--0.16279371)×1.89733813518167e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89733813518167e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89733813518167e-05×40589641000000     		ar = 18140.4942026253m²