Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62136 / 75466
↖ ↑ ↗
← S 26.298340°
W  9.338379°		 ← 273.81 m → S 26.298340°
W  9.335632°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
S 26.300802°
W  9.338379°		 ← 273.81 m →
74 959 m²		 S 26.300802°
W  9.335632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474063873291016 y=0.575763702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474063873291016 × 217)
    floor (0.474063873291016 × 131072)
    floor (62136.5)     		tx = 62136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575763702392578 × 217)
    floor (0.575763702392578 × 131072)
    floor (75466.5)     		ty = 75466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62136 / 75466 ti = "17/62136/75466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62136/75466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62136 ÷ 217
    62136 ÷ 131072     		x = 0.47406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75466 ÷ 217
    75466 ÷ 131072     		y = 0.575759887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.0518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16298546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575759887695312 × 2 - 1) × π
    -0.151519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.476013413227158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16298546} λ = -0.16298546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476013413227158))-π/2
    2×atan(0.621255149155136)-π/2
    2×0.55590185538654-π/2
    1.11180371077308-1.57079632675     		φ = -0.45899262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16298546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.338379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45899262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.298340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62136 KachelY 75466 -0.16298546 -0.45899262 -9.338379 -26.298340
    Oben rechts KachelX + 1 62137 KachelY 75466 -0.16293752 -0.45899262 -9.335632 -26.298340
    Unten links KachelX 62136 KachelY + 1 75467 -0.16298546 -0.45903559 -9.338379 -26.300802
    Unten rechts KachelX + 1 62137 KachelY + 1 75467 -0.16293752 -0.45903559 -9.335632 -26.300802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45899262--0.45903559) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45899262--0.45903559) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16298546--0.16293752) × cos(-0.45899262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896499267230399 × 6371000     		do = 273.813952103281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16298546--0.16293752) × cos(-0.45903559) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896480228749795 × 6371000     		du = 273.808137261254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45899262)-sin(-0.45903559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896499267230399-0.896480228749795)×R²
    abs(-0.16293752--0.16298546)×1.90384806042498e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90384806042498e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90384806042498e-05×40589641000000     		ar = 74959.02363034m²