Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62136 / 34456
↖ ↑ ↗
← N 64.595613°
W  9.338379°		 ← 131.03 m → N 64.595613°
W  9.335632°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
N 64.594434°
W  9.338379°		 ← 131.03 m →
17 172 m²		 N 64.594434°
W  9.335632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474063873291016 y=0.262882232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474063873291016 × 217)
    floor (0.474063873291016 × 131072)
    floor (62136.5)     		tx = 62136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262882232666016 × 217)
    floor (0.262882232666016 × 131072)
    floor (34456.5)     		ty = 34456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62136 / 34456 ti = "17/62136/34456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62136/34456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62136 ÷ 217
    62136 ÷ 131072     		x = 0.47406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34456 ÷ 217
    34456 ÷ 131072     		y = 0.26287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.0518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16298546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26287841796875 × 2 - 1) × π
    0.4742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48987884019135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16298546} λ = -0.16298546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48987884019135))-π/2
    2×atan(4.4365579539259)-π/2
    2×1.34910122624259-π/2
    2.69820245248519-1.57079632675     		φ = 1.12740613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16298546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.338379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12740613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.595613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62136 KachelY 34456 -0.16298546 1.12740613 -9.338379 64.595613
    Oben rechts KachelX + 1 62137 KachelY 34456 -0.16293752 1.12740613 -9.335632 64.595613
    Unten links KachelX 62136 KachelY + 1 34457 -0.16298546 1.12738556 -9.338379 64.594434
    Unten rechts KachelX + 1 62137 KachelY + 1 34457 -0.16293752 1.12738556 -9.335632 64.594434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12740613-1.12738556) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12740613-1.12738556) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16298546--0.16293752) × cos(1.12740613) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429004297627934 × 6371000     		do = 131.028955066182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16298546--0.16293752) × cos(1.12738556) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429022878468527 × 6371000     		du = 131.03463013317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12740613)-sin(1.12738556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429004297627934-0.429022878468527)×R²
    abs(-0.16293752--0.16298546)×1.8580840593474e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8580840593474e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8580840593474e-05×40589641000000     		ar = 17171.9090375612m²